金属层合板板形翘曲变形行为

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 金属层合板板形翘曲变形行为 王春海张清东李豪张立元张勃洋 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai,ZHANG Qing-dong.LI Hao,ZHANG Li-yuan,ZHANG Bo-yang 引用本文： 王春海，张清东，李豪，张立元，张勃洋.金属层合板板形翘曲变形行为.工程科学学报，2021,43(3)：409-421.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2020.01.03.001 WANG Chun-hai,ZHANG Qing-dong,LI Hao,ZHANG Li-yuan,ZHANG Bo-yang.Warpage deformation behavior of metal laminates[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(3):409-421.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 在线阅读View online::htps:/ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2020.01.03.001 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 组合式钢框架内填预制RC墙结构静力性能有限元分析 Finite element analysis of the static behavior of steel frames with combined precast reinforced concrete infill wall structures 工程科学学报.2017,3911：1753htps:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.11.019 一种光敏树脂结构的力学性能 Mechanical properties of a photosensitive resin structure 工程科学学报.2019,41(4)：512htps:/1oi.org10.13374j.issn2095-9389.2019.04.012 轧辊交叉对中间坯镰刀弯生成过程的影响 Influence of crossed roller on generating camber in hot rough rolling 工程科学学报.2018,40(8：954 https::/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.08.009 金属薄板面内压剪变形的损伤断裂行为 Damage and fracture behavior of a metal sheet under in-plane compressionshear deformation 工程科学学报.2021,43(2：263 https:1doi.org10.13374j.issn2095-9389.2020.09.23.002 热轧金属横向流动规律及其对板形的影响 Transverse flow law of metals and its effect on the shape of a steel strip 工程科学学报.2017,39(12：1859htps:/1doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.12.012 打通型双串联与三串联柔性铰链设计与性能比较 Design and performance comparison of double-series and triple-series flexure hinges 工程科学学报.2017,395：762 https:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.05.015

金属层合板板形翘曲变形行为 王春海 张清东 李豪 张立元 张勃洋 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai, ZHANG Qing-dong, LI Hao, ZHANG Li-yuan, ZHANG Bo-yang 引用本文: 王春海, 张清东, 李豪, 张立元, 张勃洋. 金属层合板板形翘曲变形行为[J]. 工程科学学报, 2021, 43(3): 409-421. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 WANG Chun-hai, ZHANG Qing-dong, LI Hao, ZHANG Li-yuan, ZHANG Bo-yang. Warpage deformation behavior of metal laminates[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(3): 409-421. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 组合式钢框架内填预制RC墙结构静力性能有限元分析 Finite element analysis of the static behavior of steel frames with combined precast reinforced concrete infill wall structures 工程科学学报. 2017, 39(11): 1753 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.11.019 一种光敏树脂结构的力学性能 Mechanical properties of a photosensitive resin structure 工程科学学报. 2019, 41(4): 512 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.04.012 轧辊交叉对中间坯镰刀弯生成过程的影响 Influence of crossed roller on generating camber in hot rough rolling 工程科学学报. 2018, 40(8): 954 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.009 金属薄板面内压剪变形的损伤断裂行为 Damage and fracture behavior of a metal sheet under in-plane compressionshear deformation 工程科学学报. 2021, 43(2): 263 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.23.002 热轧金属横向流动规律及其对板形的影响 Transverse flow law of metals and its effect on the shape of a steel strip 工程科学学报. 2017, 39(12): 1859 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.012 打通型双串联与三串联柔性铰链设计与性能比较 Design and performance comparison of double-series and triple-series flexure hinges 工程科学学报. 2017, 39(5): 762 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.05.015

工程科学学报.第43卷，第3期：409-421.2021年3月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.3:409-421,March 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001;http://cje.ustb.edu.cn 金属层合板板形翘曲变形行为 王春海区，张清东2，李豪2)，张立元2，张勃洋2) 1)首钢集团有限公司技术研究院，北京1000432)北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:wangch93l4@shougang.com.cn 摘要采用经典弹性力学方法建立了金属层合板翘曲解析计算力学模型，获得了厚度方向不均匀延伸与板形翘曲之间的 定量关系：并分别建立了在线和离线两种状态下金属层合板翘曲变形的有限元数值模拟模型，对解析计算力学模型进行了验 证：在此基础上，揭示了金属层合板产生板形翘曲缺陷的力学根源以及各因素对金属层合板板形翘曲缺陷演变的影响规律， 司时对比分析了双层和三层结构层合板与均质板的翘曲变形差异以及铜/碳钢层合板与不锈钢/碳钢层合板二者之间的翘曲 变形差异.研究表明.金属层合板翘曲高度与延伸差、厚度比呈正比关系，与厚度呈反比关系，且基层与覆层的切变模量相差 越大，厚度比对金属层合板翘曲变形的影响越大.基于数值模型，模拟研究了层合板在理想均匀分布的初始温度下，历经去 应力退火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均质板进行比较.最后，在工业生产现场取样已翘曲层合板，通过测量 其弯曲变形量进而反求其初始延伸差，验证了解析计算力学模型的准确性 关键词金属层合板：翘曲：纵向延伸：解析法：有限元 分类号TG335.56 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai,ZHANG Qing-dong?,LI Hao2,ZHANG Li-yuan,ZHANG Bo-yang? 1)Research Institute of Technology,Shougang Group Corporation,Beijing 100043,China 2)School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:wangch9314@shougang.com.cn ABSTRACT The layered characteristics of the material in the thickness direction of the metal laminate make it more prone to uneven plastic extension during the thinning.rolling,flattening,and straightening process,resulting in plate-shaped warpage defects and cause the plate-shaped warpage of the metal laminate.The behavior is significantly different from that of a homogeneous metal plate.In this paper,the classical elastic mechanics method was used to establish an analytical computational mechanical model for the warpage of the metal laminate,and the quantitative relationship between the uneven extension in the thickness direction and the warpage of the plate shape was obtained;the online and offline states of the metal laminate were established,respectively.The finite element numerical simulation model of warpage deformation validated the analytical computational mechanics model;based on this,it revealed the mechanical roots of the shape warping defects of metal laminates and the effect of various factors on the shape warpage defects of metal laminates.The influence law of evolution and the difference in warpage deformation between double-layer and three-layer structure laminates and homogeneous plates,as well as the difference in warpage deformation between copper/carbon steel laminates and stainless steel/carbon steel laminates,were compared.Studies have shown that the warpage height of the metal laminate is proportional to the elongation difference and thickness ratio,and it is inversely proportional to the thickness.The greater the difference between the shear modulus of the base layer and the cladding layer is,the larger the effect of the thickness ratio on the warpage deformation of the metal laminate will be.Based on the numerical model,simulation studies were conducted on the deformation behavior and regularity of the 收稿日期：2020-01-03 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51575040)

金属层合板板形翘曲变形行为 王春海1) 苣，张清东2)，李    豪2)，张立元2)，张勃洋2) 1) 首钢集团有限公司技术研究院，北京 100043    2) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 苣通信作者，E-mail：wangch9314@shougang.com.cn 摘    要    采用经典弹性力学方法建立了金属层合板翘曲解析计算力学模型，获得了厚度方向不均匀延伸与板形翘曲之间的 定量关系；并分别建立了在线和离线两种状态下金属层合板翘曲变形的有限元数值模拟模型，对解析计算力学模型进行了验 证；在此基础上，揭示了金属层合板产生板形翘曲缺陷的力学根源以及各因素对金属层合板板形翘曲缺陷演变的影响规律， 同时对比分析了双层和三层结构层合板与均质板的翘曲变形差异以及铜/碳钢层合板与不锈钢/碳钢层合板二者之间的翘曲 变形差异. 研究表明，金属层合板翘曲高度与延伸差、厚度比呈正比关系，与厚度呈反比关系，且基层与覆层的切变模量相差 越大，厚度比对金属层合板翘曲变形的影响越大. 基于数值模型，模拟研究了层合板在理想均匀分布的初始温度下，历经去 应力退火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均质板进行比较. 最后，在工业生产现场取样已翘曲层合板，通过测量 其弯曲变形量进而反求其初始延伸差，验证了解析计算力学模型的准确性. 关键词    金属层合板；翘曲；纵向延伸；解析法；有限元 分类号    TG335.56 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai1) 苣 ，ZHANG Qing-dong2) ，LI Hao2) ，ZHANG Li-yuan2) ，ZHANG Bo-yang2) 1) Research Institute of Technology, Shougang Group Corporation, Beijing 100043, China 2) School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E-mail: wangch9314@shougang.com.cn ABSTRACT    The layered characteristics of the material in the thickness direction of the metal laminate make it more prone to uneven plastic extension during the thinning, rolling, flattening, and straightening process, resulting in plate-shaped warpage defects and cause the plate-shaped warpage of the metal laminate. The behavior is significantly different from that of a homogeneous metal plate. In this paper, the classical elastic mechanics method was used to establish an analytical computational mechanical model for the warpage of the metal laminate, and the quantitative relationship between the uneven extension in the thickness direction and the warpage of the plate shape  was  obtained;  the  online  and  offline  states  of  the  metal  laminate  were  established,  respectively.  The  finite  element  numerical simulation  model  of  warpage  deformation  validated  the  analytical  computational  mechanics  model;  based  on  this,  it  revealed  the mechanical roots of the shape warping defects of metal laminates and the effect of various factors on the shape warpage defects of metal laminates.  The  influence  law  of  evolution  and  the  difference  in  warpage  deformation  between  double-layer  and  three-layer  structure laminates and homogeneous plates, as well as the difference in warpage deformation between copper/carbon steel laminates and stainless steel/carbon steel laminates, were compared. Studies have shown that the warpage height of the metal laminate is proportional to the elongation difference and thickness ratio, and it is inversely proportional to the thickness. The greater the difference between the shear modulus of the base layer and the cladding layer is, the larger the effect of the thickness ratio on the warpage deformation of the metal laminate will be. Based on the numerical model, simulation studies were conducted on the deformation behavior and regularity of the 收稿日期: 2020−01−03 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51575040） 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期：409−421，2021 年 3 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 3: 409−421, March 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001; http://cje.ustb.edu.cn

410 工程科学学报，第43卷，第3期 plate shape warping of the laminated plate under the ideal uniform distribution of the initial temperature and the stress relief annealing process,and it was compared with that of the homogeneous plate.Finally,a sample of the warped laminate was taken at an industrial production site,and the initial extension difference was reversed by measuring its bending deformation.The result verifies the accuracy of the analytical computational mechanical model. KEY WORDS metal laminate;warpage;longitudinal extension;analytical method;finite element 金属层合板是利用复合技术使2种或2种以 卢兴福2，张清东等23-2湖，余伟和王乙法2通过建 上物理、化学性能不同的金属层牢固结合在一起 立力学模型对一种复杂板形翘曲（反向C翘）缺陷 而获得的新型板带材-).因其同时具备结构和功 的变形规律进行了相关研究，同时对钢板带裁切 能性特点，被广泛应用于石油化工、海洋工程、油 加工过程因结构改变导致板形变化的规律进行了 气输送、航空航天及机械冶金等领域[匀轧制生 研究，提出表观平直但有“潜”板形缺陷钢板裁切 产金属层合板是一种十分高效且高质量的生产方 后翘曲变形的力学机理，并建立在线C翘切分后 式.近年来，如为了轻量化环保等，金属层合板需 转化为离线L翘的力学模型，而金属层合板由于 进行减薄轧制.由于金属层合板层间材料物理性 其在板厚方向材料力学性能不同，使得金属层合 能及力学性能存在差异，在后续加工过程中极易 板相较于单一金属的翘曲变形行为更为复杂，需 产生沿厚度方向不均匀的塑性延伸，导致翘曲缺 单独展开研究2 陷的产生，主要表现为沿金属层合板宽度方向翘 因此，本文针对双层结构的不锈钢-碳钢和铜- 曲(C翘)和沿轧制方向翘曲(L翘)，严重影响产品 碳钢层合板以及三层结构的不锈钢-碳钢-不锈钢 质量 和铜-碳钢-铜层合板的板形翘曲(C翘和L翘)生 而目前金属层合板板形翘曲变形的研究相对 成过程，在不考虑复合界面两侧变形不协调对界 甚少，其中王丹利用有限元软件分析了厚度配 面结合质量影响的假设下，取定相同的层合板结 比对金属层合板轧制过程中翘曲变形行为的影 构及尺寸，分别在理想的线性连续初应变分布假 响.与此同时，马江泽等7和何冰冷等图对不锈钢/ 设下推导建立4类层合板板形翘曲变形的解析模 碳钢层合板非对称异步轧制过程进行了仿真模 型，以及在假设的初始温度分布与温降历程下，建 拟，研究了压下率和异速比等对金属层合板轧后 立金属层合板板形翘曲变形的有限元数值模拟模 平直度的影响.对于板形翘曲行为的研究，大多针 型.然后，基于解析模型，分别研究4类金属层合板 对单一金属板带材翘曲缺陷进行研究，昝现亮等) 以厚度比、切变模量比等参数描述的厚向材料分 认为平整机单辊传动造成上下表面应力差，进而 层特征，对于其C翘和L翘的变形行为的影响，并 导致了C翘板形缺陷的产生.Masui等o和Li等山 与均质板进行比较：基于数值模型，模拟研究层合 对退火炉内带钢C翘板形缺陷的产生机理进行了 板在理想均匀分布的初始温度下，历经去应力退 研究，认为板带材经过转向辊时，沿轧制方向外部 火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均 受拉内部受压，当板带材出转向辊后残余应力释 质板进行比较.本文的研究拟通过揭示金属层合 放，导致板带材中部向外侧凸出进而产生C翘.部 板的板形翘曲变形规律，为金属层合板减薄轧制 分学者针对现场实际生产中可能导致板形翘曲缺 等压力加工过程的板形翘曲控制提供理论依据. 陷的原因开展了相关研究.其中何建峰！和唐伟 1层合板板形翘曲的解析模型 等]对生产现场中具有翘曲缺陷的钢板进行了分 析，利用小孔释放法测量向下弯曲钢板宽度方向 建立如图1所示坐标系，图1(a)为双层结构 的残余应力，通过分析测量结果可知，钢板上、下 层合板，图1(b)为三层结构层合板.其中x、y、 表面残余应力的大小及分布情况决定了翘曲的程 :轴分别与金属层合板的长度、宽度和厚度方向重 度和方向.张清东等4-对平整轧制过程中的板 合，图中h,为中性层与层合板下表面距离，h2为中 形翘曲问题进行了深入研究，提出了C翘翘曲量 性层与层合板复合界面距离 的多项式计算方法，并对四角翘板形缺陷进行了 取定层合板的结构及尺寸，长度为L宽度为 有限元模拟.戴杰涛等9-20指出了带钢翘曲板形 B,总厚度为H,其中基层材料的厚度为h、覆层材 缺陷的力学根源，并应用辛弹性力学方法对带钢 料的厚度为h,覆层与基层的厚度比KhJh,对 翘曲行为进行了解析研究.在此基础上，张勃洋等2， 于双层结构，=h+hs;对于三层结构，H=he1+h+h2

plate shape warping of the laminated plate under the ideal uniform distribution of the initial temperature and the stress relief annealing process, and it was compared with that of the homogeneous plate. Finally, a sample of the warped laminate was taken at an industrial production site, and the initial extension difference was reversed by measuring its bending deformation. The result verifies the accuracy of the analytical computational mechanical model. KEY WORDS    metal laminate；warpage；longitudinal extension；analytical method；finite element 金属层合板是利用复合技术使 2 种或 2 种以 上物理、化学性能不同的金属层牢固结合在一起 而获得的新型板带材[1−3] . 因其同时具备结构和功 能性特点，被广泛应用于石油化工、海洋工程、油 气输送、航空航天及机械冶金等领域[4−5] . 轧制生 产金属层合板是一种十分高效且高质量的生产方 式. 近年来，如为了轻量化环保等，金属层合板需 进行减薄轧制. 由于金属层合板层间材料物理性 能及力学性能存在差异，在后续加工过程中极易 产生沿厚度方向不均匀的塑性延伸，导致翘曲缺 陷的产生，主要表现为沿金属层合板宽度方向翘 曲（C 翘）和沿轧制方向翘曲（L 翘），严重影响产品 质量. 而目前金属层合板板形翘曲变形的研究相对 甚少，其中王丹[6] 利用有限元软件分析了厚度配 比对金属层合板轧制过程中翘曲变形行为的影 响. 与此同时，马江泽等[7] 和何冰冷等[8] 对不锈钢/ 碳钢层合板非对称异步轧制过程进行了仿真模 拟，研究了压下率和异速比等对金属层合板轧后 平直度的影响. 对于板形翘曲行为的研究，大多针 对单一金属板带材翘曲缺陷进行研究，昝现亮等[9] 认为平整机单辊传动造成上下表面应力差，进而 导致了 C 翘板形缺陷的产生. Masui 等[10] 和 Li 等[11] 对退火炉内带钢 C 翘板形缺陷的产生机理进行了 研究，认为板带材经过转向辊时，沿轧制方向外部 受拉内部受压，当板带材出转向辊后残余应力释 放，导致板带材中部向外侧凸出进而产生 C 翘. 部 分学者针对现场实际生产中可能导致板形翘曲缺 陷的原因开展了相关研究. 其中何建峰[12] 和唐伟 等[13] 对生产现场中具有翘曲缺陷的钢板进行了分 析，利用小孔释放法测量向下弯曲钢板宽度方向 的残余应力，通过分析测量结果可知，钢板上、下 表面残余应力的大小及分布情况决定了翘曲的程 度和方向. 张清东等[14−18] 对平整轧制过程中的板 形翘曲问题进行了深入研究，提出了 C 翘翘曲量 的多项式计算方法，并对四角翘板形缺陷进行了 有限元模拟. 戴杰涛等[19−20] 指出了带钢翘曲板形 缺陷的力学根源，并应用辛弹性力学方法对带钢 翘曲行为进行了解析研究. 在此基础上，张勃洋等[21] ， 卢兴福[22] ，张清东等[23−24] ，余伟和王乙法[25] 通过建 立力学模型对一种复杂板形翘曲（反向 C 翘）缺陷 的变形规律进行了相关研究，同时对钢板带裁切 加工过程因结构改变导致板形变化的规律进行了 研究，提出表观平直但有“潜”板形缺陷钢板裁切 后翘曲变形的力学机理，并建立在线 C 翘切分后 转化为离线 L 翘的力学模型. 而金属层合板由于 其在板厚方向材料力学性能不同，使得金属层合 板相较于单一金属的翘曲变形行为更为复杂，需 单独展开研究[26] . 因此，本文针对双层结构的不锈钢‒碳钢和铜‒ 碳钢层合板以及三层结构的不锈钢‒碳钢‒不锈钢 和铜‒碳钢‒铜层合板的板形翘曲（C 翘和 L 翘）生 成过程，在不考虑复合界面两侧变形不协调对界 面结合质量影响的假设下，取定相同的层合板结 构及尺寸，分别在理想的线性连续初应变分布假 设下推导建立 4 类层合板板形翘曲变形的解析模 型，以及在假设的初始温度分布与温降历程下，建 立金属层合板板形翘曲变形的有限元数值模拟模 型. 然后，基于解析模型，分别研究 4 类金属层合板 以厚度比、切变模量比等参数描述的厚向材料分 层特征，对于其 C 翘和 L 翘的变形行为的影响，并 与均质板进行比较；基于数值模型，模拟研究层合 板在理想均匀分布的初始温度下，历经去应力退 火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均 质板进行比较. 本文的研究拟通过揭示金属层合 板的板形翘曲变形规律，为金属层合板减薄轧制 等压力加工过程的板形翘曲控制提供理论依据. 1    层合板板形翘曲的解析模型 建立如图 1 所示坐标系，图 1（a）为双层结构 层合板，图 1（ b）为三层结构层合板. 其中 x、 y、 z 轴分别与金属层合板的长度、宽度和厚度方向重 合，图中 h1 为中性层与层合板下表面距离，h2 为中 性层与层合板复合界面距离. 取定层合板的结构及尺寸，长度为 L，宽度为 B，总厚度为 H，其中基层材料的厚度为 hs、覆层材 料的厚度为 hc，覆层与基层的厚度比 KH=hc /hs，对 于双层结构，H=hc+hs；对于三层结构，H=hc1+hs+hc2， · 410 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期

王春海等：金属层合板板形翘曲变形行为 411 Cladding (a) he Interface layer B/ L Neutral layer Substrate Cladding (b) h Interface layer B/2 Substrate Neutral layer h Interface layer Cladding 图1金属层合板结构模型.(a)双层结构的层合板：(b)三层结构的层合板 Fig.I Structural model of metal laminate:(a)double-layer structure laminate;(b)three-layer laminate 且he=he1+he2,he=he2.同时，覆层与基层的杨氏弹 1.1双层结构的层合板 性模量为E。和Es,泊松比为y和s,线膨胀系数为 假设双层结构金属层合板塑性应变（ε正应 a。和as,切变模量为G。和Gs,(G=E[2(1+v)),覆层 变、y切应变)在各层沿厚度方向线性且连续分 与基层的切变模量比K。=GJG,（三层结构 布，其它方向应变均为零，基层沿厚度方向的应变 K=GJGJG.).假设金属层合板的基层与覆层的材 差为e,覆层沿厚度方向的应变差为，如式(1)和 料性能各向同性 (2)所示 Es 0,d=M+加m2 (-h≤z≤h2) Ec Ech2 Esh2 0,3=H-h-2H-m-+h1+ (h2≤z≤H-h1) (1) 9=9=y0=y9=y2=0 其中： Bu 8w Ex= Ox 8=e6y,h2)-e260y-h1) (2) ee=e20y,H-h1)-e0,h2) a 8w Ey= (4) 金属层合板厚度方向不均匀延伸导致轧后板 y 2 形翘曲缺陷属于弹性力学范畴，基层和覆层金属 ou dv 82w 材料力学性能的差异将会对翘曲缺陷产生重要 Yay= + =-2z xoy 影响.因此，基于薄板线弹性直法线假设 再次，针对金属层合板不同金属层力学性能 (Kirchhoff假设)，当金属层合板产生C翘时，假设 厚度：方向中性面的位移与长度x无关；当金属 的差异，推导应力应变关系如式(5)所示，式中， 层合板产生L翘时，假设厚度：方向中性面位移 o为正应力，t为剪应力 w与宽度y无关，推导翘曲变形位移与应变关系， Ex= 如式(3)所示.故应变如式(4)所示. E(x-v)+.) 1 uK,y,刀=-2a 1 8=Eoy-o到 i=c,s)(5) v(x,y,Z)=- Ow (3) dy fy) C翘 Yxy=Gi w(x.y,2= (x) L翘 将式(1)和式(4)代入式(5)，可得：

νc νs 且 hc=hc1+hc2，hc1=hc2. 同时，覆层与基层的杨氏弹 性模量为 Ec 和 Es，泊松比为 和 ，线膨胀系数为 ɑc 和ɑs，切变模量为 Gc 和 Gs，(G=E/[2(1+ν)])，覆层 与 基 层 的 切 变 模 量 比 KG=Gc /Gs， （ 三 层 结 构 KG=Gc /Gs /Gc）. 假设金属层合板的基层与覆层的材 料性能各向同性. 1.1    双层结构的层合板 假设双层结构金属层合板塑性应变（ ε 正应 变 、γ 切应变）在各层沿厚度方向线性且连续分 布，其它方向应变均为零，基层沿厚度方向的应变 差为 εs，覆层沿厚度方向的应变差为 εc，如式（1）和 （2）所示.    ε 0 x (y,z) = εs h1 +h2 z (−h1 ⩽ z ⩽ h2) ε 0 x (y,z) = εc H −h1 −h2 z− εch2 H −h1 −h2 + εsh2 h1 +h2 (h2 ⩽ z ⩽ H −h1) ε 0 y = ε 0 z = γ 0 xy = γ 0 yz = γ 0 xz = 0 （1） 其中：    εs = ε 0 x (y,h2)−ε 0 x (y,−h1) εc = ε 0 x (y,H −h1)−ε 0 x (y,h2) （2） 金属层合板厚度方向不均匀延伸导致轧后板 形翘曲缺陷属于弹性力学范畴，基层和覆层金属 材料力学性能的差异将会对翘曲缺陷产生重要 影 响 . 因 此 ， 基 于 薄 板 线 弹 性 直 法 线 假 设 （Kirchhoff 假设），当金属层合板产生 C 翘时，假设 厚度 z 方向中性面的位移 w 与长度 x 无关；当金属 层合板产生 L 翘时，假设厚度 z 方向中性面位移 w 与宽度 y 无关，推导翘曲变形位移与应变关系， 如式（3）所示. 故应变如式（4）所示.    u(x, y,z) = −z ∂w ∂x v (x, y,z) = −z ∂w ∂y w(x, y,z) = { f3 (y) C翘 f3 (x) L翘 （3）    εx = ∂u ∂x = −z ∂ 2w ∂x 2 εy = ∂v ∂y = −z ∂ 2w ∂y 2 γxy = ∂u ∂y + ∂v ∂x = −2z ∂ 2w ∂x∂y （4） 再次，针对金属层合板不同金属层力学性能 的差异，推导应力应变关系如式（5）所示，式中， σ 为正应力，τ 为剪应力.    εx = 1 Ei ( σx −νiσy ) +ε 0 x (y,z) εy = 1 Ei ( σy −νiσx ) γxy = τxy Gi (i = c,s) （5） 将式（1）和式（4）代入式（5），可得： Interface layer Neutral layer x y z o B/2 L/2 H h2 h1 Cladding Substrate hs (a) hc Interface layer Neutral layer x y z o B/2 L/2 H h2 h1 Cladding Interface layer hc1 Substrate hs hc2 (b) Cladding 图 1    金属层合板结构模型. （a）双层结构的层合板；（b）三层结构的层合板 Fig.1    Structural model of metal laminate: (a) double-layer structure laminate; (b) three-layer laminate 王春海等： 金属层合板板形翘曲变形行为 · 411 ·

412 工程科学学报，第43卷，第3期 Ux- -Esz [82w82w Es -a2+%+ h1+h2 -Esz [o2w 2w VsEs dy= -2+a+h1+ (-h≤z<h2) (6) 8w Tay=GaYy=-22G Bxdy 推导建立双层结构金属层合板翘曲过程，弯 矩M、M和扭矩M、M与应力之间的关系如下： -Ec w w dy2 +乙H-h1-h2 Ech2 Esh2 H-h-h2 h+h2 -Ee「Pw, 2w VeEc 1-g+%a+H--加 y= (h≤z≤H-h) (7) VeEch2 VeEsh2 H-h-h2'hi+h2 Txy=GeYxy =-2zGc 82w xdy M=所odk+-zoxd 假定层合板产生C翘时中间位置的挠度和弯 M,=,0,d应+-z知，d (8) 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边 My=Mr=岛rd+月-zTnd w(0)=0, w0=0. M(±B/2)=0（11) dy 将式(3)、(8)代入如下平衡方程： 联立式(3)、(8)、(11)求解得双层结构金属层 M+22Mm+24-0 (9) 合板C翘厚度方向的位移如下： 8x 8xdy dy2 M=0 得： 2N 8w V= MX (12) 04 =0,C翘 (10) o"w a4=0,L翘 式中： v=-0华低+-写0-P-+ n产H-r--H-hnP-喝 DH-h- (13) M=D,候+)+D.H-AP- Ei D=1 同样，L翘时边界条件如下： 4=0 2N V= w(0)=0, aw(0=0, Mx(±L/2)=0(14) M (15) 0x 联立式(3)、(8)、(14)求解得双层结构金属层 合板L翘厚度方向的位移如下： 式中：

   σx = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂x 2 +νs ∂ 2w ∂y 2 + εs h1 +h2 ] σy = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂y 2 +νs ∂ 2w ∂x 2 + νsεs h1 +h2 ] (−h1 ⩽ z < h2) τxy = Gsγxy = −2zGs ∂ 2w ∂x∂y （6） 推导建立双层结构金属层合板翘曲过程，弯 矩 Mx、My 和扭矩 Mxy、Myx 与应力之间的关系如下：    σx = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂x 2 +νcz ∂ 2w ∂y 2 +z εc H −h1 −h2 − εch2 H −h1 −h2 + εsh2 h1 +h2 ] σy = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂y 2 +νcz ∂ 2w ∂x 2 +z νcεc H −h1 −h2 − (h2 ⩽ z ⩽ H −h1) νcεch2 H −h1 −h2 + νcεsh2 h1 +h2 ] τxy = Gcγxy = −2zGc ∂ 2w ∂x∂y （7）    Mx = r h2 −h1 zσxdz+ r H−h1 h2 zσxdz My = r h2 −h1 zσydz+ r H−h1 h2 zσydz Mxy = Myx = r h2 −h1 zτxydz+ r H−h1 h2 zτxydz （8） 将式（3）、（8）代入如下平衡方程： ∂ 2Mx ∂x 2 +2 ∂ 2Mxy ∂x∂y + ∂ 2My ∂y 2 = 0 （9） 得：    ∂ 4w ∂y 4 = 0, C翘 ∂ 4w ∂x 4 = 0, L翘 （10） 假定层合板产生 C 翘时中间位置的挠度和弯 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边. w(0) = 0, ∂w(0) ∂y = 0, My (±B/2) = 0 （11） 联立式（3）、（8）、（11）求解得双层结构金属层 合板 C 翘厚度方向的位移如下：    u = 0 v = 2N M yz w = − N M y 2 （12） 式中：    N = − 1 3 Ds νsεs h1 +h2 ( h 3 1 +h 3 2 ) − 1 3 Dc νcεc H −h1 −h2 [ (H −h1) 3 −h 3 2 ] + 1 2 Dc νcεch2 H −h1 −h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dc νcεsh2 h1 +h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] M = 2 3 [ Ds ( h 3 1 +h 3 2 ) + Dc [ (H −h1) 3 −h 3 2 ]] Di = Ei 1−ν 2 i （13） 同样，L 翘时边界条件如下： w(0) = 0, ∂w(0) ∂x = 0, Mx (±L/2) = 0 （14） 联立式（3）、（8）、（14）求解得双层结构金属层 合板 L 翘厚度方向的位移如下：    u = 0 v = 2N M xz w = − N M x 2 （15） 式中： · 412 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期