§4行列式的性质 记 12 21 22 D D 行列式D称为行列式D的转置行列式。 性质1行列式与它的转置行列式相等 证:记 6, b 即b D (,j=1,2 b 下页
上页 下页 §4 行列式的性质 , 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a D = n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 12 22 2 11 21 1 = 记 行列式D'称为行列式D的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等 。 证： 记 , 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n b b b b b b b b b D = 即bij ＝aji (i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义 D=∑(-1)b,b21…bm=∑(-1yan1a12…am=D 性质2互换行列式的两行(列),行列式反号。 证 P 21 D 2 交换第p、q两 q P 列,得行列式D=?¨an……a2 上页 下页
上页 下页 按行列式定义 = (− ) n n j j j j j nj j D b b b 1 2 1 2 1 2 1 = (− ) = n n j j j j j j n j a a a D 1 2 1 2 1 2 1 性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证 n np nq nn p q n p q n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 = 交换第p、q两 列，得行列式 n nq np nn q p n q p n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 =
对于D中任一项 (-1) 其中/为排列i…in…in…in的逆序数 在D1中必有对应一项 2 P 其中I为排列ii…in…的逆序数 n…iq…in与4i…ii只经过一次对换 (-1)与(-)相差一个符号 上页 P 4 下页
上页 下页 对于D中任一项 ( ) i i i p i q i n I p q n a a a a a 1 2 1 2 −1 其中I为排列 i 1 i p i q i n 的逆序数 在D1中必有对应一项 ( ) i i i q i p i n I q p n a a a a a 1 2 1 2 1 − 1 其中I1为排列 i 1 i q i p i n 的逆序数 i 1 i p i q i n 与 i 1 i q i p i n 只经过一次对换 ( 1) 与( 1) 1 相差一个符号 I I − − ai 1 1 ai 2 2 ai q q ai p p ai n n = ai 1 1 ai 2 2 ai p p ai q q ai n n