思考:你能给出不等式a2+b2≥2ab的证明吗? 证明:(作差法)a2+b2-2ab=(a-b) 当a≠砂时(a-b)2>0 当a=b时(a-b)2=0 所以a-b)2≥0 所以a2+b2≥2ab
思考：你能给出不等式 的证明吗？ a b 2ab 2 2 + − ( ) 0 2 a − b ( ) 0 2 a − b = 2 所以( ) 0 a b − ≥ 2 2 所以a b ab + ≥2 . 当a b时 当a = b时 2 2 a b ab + ≥2 证明：（作差法） 2 = (a −b)
重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,总有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立 适用范围:a,b∈R
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 2 2 a b ab + ≥2 适用范围： a,b∈R
问题一如果a>0,b>0我们用√a,b分别代替a,b 可得到什么结论? 替换后得到:(√a)2+(√b)≥2√a√b 即:a+b≥2√ab a+b PNab(a>0, b>0)
如果a b a b a b 0, 0, , , , 我们用 分别代替 可得到什么结论？ 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b + ≥ 2 a b ab + ≥ 替换后得到： 即： (a 0, b 0) 即： a b ab + ≥2 问题一
问题二你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗? 证明:要证 a+ ab 分 只要证a+b≥ 2 析 ab 法 要证①,只要证a+b-2b≥0 ② (a>0,b>0,a=(a)2,b=(√6)2) 要证②,只要证 b)2≥0 显然,③是成立的当且仅当a=b时,③中的等号成立
2 a b ab + 证明：要证 ≥ 只要证 a b + ≥ _______ ① 要证①，只要证 a b + − _____ 0 ≥ ② 要证②，只要证 2 (___ ___) 0 − ≥ ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分 析 法 2 2 ( 0, 0, ( ) , ( ) ) a b a a b b = = 2 ab2 ab a b 问题二 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
基本不等式定义 若>0,b0,则a+b≥2√ab 通常我们把上式写作:Vab≤(a>0,b>0) 2 当且仅当b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式 适用范围:a>0,b>0
若a>0，b>0，则 a b ab + _____ 2 ≥ 通常我们把上式写作： ( 0, 0) 2 a b ab a b + ≤ 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式定义 适用范围： a>0,b>0