第一章◎古算题·逻辑·游戏•竞责 象”，难以满足。 但是，有几位脑子转得快的同学已经找到了门道，没过几 分钟就说出了答案。原来，只要学过加法，就可以完成这个小 测验，关键是在能不能灵活熟练地运用逻辑推理。 突破口是在小钱那里。首先应该猜他手里拿着哪两张卡 片：很明显4=2+2=1+3，由于只有一张卡片写着2，所以 他手里拿的一定是1和3。 再猜小孙的：7=1+6=2+5=3+4，但是1,3已在小钱 的手里，所以小孙只可能有2和5。 其次猜小赵的：11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,1， 2,3,5都已被别人拿去了，所以他拿的一定是4和7了。 按照上面的办法，你可以自己猜出小李和小周拿的是什么 卡片了。 看来，解开这道逻辑题倒还不算太难，倒是老师编题时要 动足脑筋，煞费苦心了。 1.8 路路通 “四四呈奇”是历史上有名的数学趣题，中、外数学名家 们都曾加以研究，其中有英国剑桥大学罗斯鲍尔教授，美国数 学科普大师马丁·加德纳先生，苏联数学家柯尔詹姆斯基，中 国数学会第一届理事，扬州中学数学教师陈怀书先生，西北工 业大学姜长英教授，著名数学教育家许莼舫先生等。用加、 减、乘、除、括号、小数点、循环节、根号、阶乘以及数字的 并列等符号，连接四个4，可以组成从1到100以上的各个自 然数。 11
好玩的数学 乐在其中的数学 各位前辈学者的办法各不相同，有繁有简，大异其趣，真 是“八仙过海”，各显神通。 以下12个式子，是许莼舫先生的办法 (=1, 4. √4 =3, 4+4!÷ √4 =4 得x-5, 4!+4 -1, 4,④=8 √4×4 .4 V.4 49, 44 √ + 4 4 =10 (4+4)(4-√4)=12 下面再给出马丁·加德纳的结果，似乎简单得多，然而从 另外一个角度讲，也是“仁者见仁，智者见智”，可谓各有 千秋 1我， 2=+ 3=4+4+4 4， 4=4×(4-4)+4 5=4×4)+4 4 6=4+4+4 4 7姓-4， 8=4+4+4-4 9=4+4+4, 10=44-4 4 44 11=4+4, 12=44+4 4 12
第一章◎古算题·逻辑·游戏•竞赛 当然，加德纳先生也不是不用复杂解法的，例如，他曾在 《科学美国人》数学游戏专栏内，出过一道怪题：“怎样用四个 4来表示113呢？”许多人都被他考住了。能找出正确答案者 寥寥无几。 “解铃还须系铃人，”后来加德纳先生自己给出了答案，那 就是 4!4 ./4 .4 由于此式比较复杂，让我们稍作计算 原式= 24,2 2+4 910 =24×2+1 9.20 =108+5=113 以上两位专家的研究，虽然是曲尽其妙，但都是就四个4 来大做文章的，如果我们把题目改一改，用四个5或四个7来 表示1,2,3,4，…各数，那又怎么办呢？原来的办法肯 定不中用了，非另起炉灶不可。 说到这里，我忽然想起法国著名科幻小说作家儒勒·凡 尔纳的名作《八十天环游地球》，那里有一个滑稽丑角路 路通，每到危急关头，他便出来济困扶危，排难解纷，助 人为乐。起到了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的 作用。 令人欣慰的是，我们真的能够在浩如烟海的苏联出版的、 俄文数学文献里找到这些“路路通”的式子，譬如说 13
好玩的数学 乐在其中的数学 2=+ 4=n~i nt n 7=n-n-n n 12=B+n+n n 17=+n-九 这些式子中的n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9，随 便哪一个都行，你相信吗？ 不妨就最后一个式子，用n=7来验证一下，这时 a+n-i7+7-立14-写 n .7 7 132119 99119 =7= 9 7=-17 “不怕不识货，只怕货比货”，看来是要让苏联学者棋高一 着，力压群英了」 1,9 x2年我有x岁 只有贡献最大，成就最突出的学者才能收人《数学大百科 全书》，德·摩根便是其中的一个。他是英国人，从剑桥大学毕 业后，年仅22岁时就被破格提升为大学教授，并于1866年起 14
第一章⊙古算题·逻辑·游戏·竞赛 出任伦敦数学会的会长。 德·摩根虽然少年得志，但态度和善，平易近人，说起话 来也极为风趣。 有人问他：“阁下今年有多大年纪了？”德·摩根笑笑，不 正面回答。当时是19世纪的某一年，什么今年、明年、后年， 他都置若罔闻，避而不谈。 他的答复竟是：到了x2年，我正好是x岁。 他究竟是哪一年出生的人呢？有本讲“奥数”的书，解法 如下： 根据德·摩根的回答，不难算出，他生于x2一x年，此式 可以分解因子，变为 x2-x=x(x-1) 当x≤42时，x(x-1)≤1722 当x≥44时，x(x-1)≤1892 作为19世纪的数学家，他不可能出生于1722年之前，也 不可能出生于1892年之后，故而x=43,即他出生于43× 42=1806（年)。 这样的解法，当然不能说它不正确，但既用了因式分解， 又用了不等式，说理也很啰嗦，看来是不太高明的。 现在，中、小学生的手上，几乎人人都有一只袖珍计算 器，我们知道，在19世纪，作为完全平方数的年份，仅仅只 有一年，即432=1849（年），事实上，44=136（年)已到了 20世纪，而422=1764（年）则在18世纪。既然1849年已经 求了出来，从此数出发，减去43，不是马上就算出了他生于 1806年吗？ 15