好玩的数学 乐在其中的数学 1849-43=1806 根据《数学大百科全书》的记载，德·摩根出生于 1806年6月27日，1871年3月18日死于伦敦，活了大 约65岁。 朋友们，你们要善于独立思考，在不少场合，你们自己会 找到比现成的书本上更好的解法。 1.10 拿栗子 糖炒栗子纷纷上市，香甜可口，街头巷尾，到处有售。 前几年，笔者到天津去出差，发现那里的正宗良乡栗子， 价钱不到上海的一半。怪不得上海的老字号，只能关起门 来在上海市区称王，不能越出雷池一步。而且所占的市场 份额也逐年递减。这真是咎由自取，谁叫你们的毛利定得 如此之高呢？所以，近年来许多老顾客只好消极抵制，大 喊吃不起了！ 闲话少说。我们不妨去买些糖炒栗子来，用它们做游戏的 道具。可以先把八只栗子排成一行 a b c de f g h 两人轮流来拿取栗子，规定如下： (1)每次可以取走三只相邻的栗子，换句话说；在取中间 的一颗栗子时，一定要把它的左邻、右舍同时取走，不得 违反。 (2)取两只相邻栗子时，其中的一只必须“靠边” 16
第一章⊙古算题·逻辑·游戏·竞赛 a b c d a b cd e 可以取走a,b栗子 不准取走b,c 或者c,d栗子 栗子因b,c都 不靠边 (3)可以取走一只孤立的栗子，但此种情况在开局时不会 出现，在中局或残局时有可能碰到。 令人惊讶的是：如果双方都采取正确着法，这种八栗游戏 竟是后发制人、后走者一定能赢的游戏。你知道其中的奥妙吗？ 现在让我们简要地提示一下本问题的答案。 对于初始布局 a b cde fgh 来说，先走者有两大类走法，拿两只与拿三只。 先讲第一种，先走者取走a,b两只（取g,h时，出现的 情况是完全对称的，不必再讨论了)，剩下联成一气的六只栗子 。。。。。 c de fg h 后走者的正确对策是取走c,d(或者g,h也行)，使之留下 四只相邻的栗子 e fg h 到此地步，明眼人已经一望而知，无论先走者取三只还是 取两只，后走者是一定可以收尾的。事实上，这时再相应地拿 取一只或两只，则栗子被全部拿光，再轮到先走者下手时，他 已无栗可取，只得认输了。 再讲第二种，先走者取三只栗子，这时情况比较复杂，可 17
好玩的数学 乐在其中的数学 以根据表1-2的不同情况分别处理。 表1-2 先走者取 后走者取 先走者取 后走者取 e h (1) abc h d (2) bod 留下e (上面已讨论过了) ab (3) f ab (4) g胁 def ab h 其实，明眼人可以看出，表1-2中情况(3)与情况(4) 是互相对称的。无论属于何种情况，都是后走者稳操胜券。因 此，对本游戏来说，“先下手为强”的说法是不对的。 1.11 查脚印 巴黎郊外有一座中世纪留下的古老城堡，其年代几乎与著名 的“巴黎圣母院”同样久远，因而成了旅游观光的胜地，吸引了 来自世界各地的游客。下面这则做事就是出自一位导游之口： 古堡的顶层有一座尘封的钟楼，里面住着一个怪人，唯一 的对外通道是个走起路来嘎嘎响的、陡蛸异常的木质楼梯，大 约有几十级，但肯定不到一百级。 某日黄昏，怪人的四位互不相识的朋友阿列克赛(A)、 巴顿(B)、克林(C)、杜邦(D),几乎在同一时间先后来访。 他们发现怪人已经被人杀害了，房间里面尽是血水。 当下四人大惊失色，争先恐后地拼命逃走。从脏乱不堪的 18
第一章⊙古算题·逻辑·游戏·竞赛 狭窄楼梯（一次只能通过一人)跑下来，阿列克赛一步下2级 台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的 本事最大，竟是一步能下5级台阶。 出事以后，侠盗亚森罗宾乔装成一名体面的上流社会绅 士，自告奋勇地前来侦破此案。他发现，同时印下四个人脚印 的台阶仅在最高处和最低处。 为了追查凶手，脚印混乱了就不好办，于是亚森罗宾特别 重视只留有一个人脚印的台阶。后来的结果充分证明他的看法 是正确无误的，最后终于抓获凶手，把他绳之以法。 现在要问你的是，通向钟楼的木楼梯上有多少级台阶印下 了一个人（不问是谁的）的脚印？ 由于4的倍数肯定是2的倍数，所以克林的情祝可以不必 考虑，这就省掉了一个人，2,3,4,5的最小公倍数是60， 而60又小于100，所以钟楼的木楼梯共有60级台阶。 阿列克赛的脚印落在第2,4,6,8,10,12，…，58,60 级台阶上，但应排除2×3及其倍数的各级阶梯；同理，还需 要排除4的倍数的各级阶梯和5的倍数的各级阶梯。于是剩下 第2,14,22,26,34,38,46,58共八级。其一般形式为 2×p(其中p=1,以及除去2、3、5以外的素数)。 巴顿的脚印落在第3,6,9,12，…，60级阶梯上，但应 排除混有别人脚印的第6,12,15,18，…级阶梯，剩下第 3,9,21,27,33,39,51,57,共八级。 前面已经说过克林的情况可以不考虑了，最后再来看一下 杜邦的情况。很明显，只留下他一个人脚印的阶梯是第5， 25,35,55级，共四级。 所以，问题的答案是8+8+4=20级。 19
好玩的数学 乐在其中的数学 本题自然也可以用其他办法来解决，例如用“奥数”培训 教材中所讲的“容斥原理”等，真是条条道路通罗马，所以说 它是一道很有趣味的好题。 1.12 葫芦里卖的什么药 有三只葫芦，每只葫芦里装着两样中药。其中的一只葫芦 里装着一块白木耳和一块黑木耳（以下简称黑、白），另一只 装的是黑、黑；还有一只装的是白、白。后来，不知什么人把 葫芦外面的标签全给贴错了。现在允许你从任何一只葫芦里拿 出一块药来，并判定三只葫芦里所装的药材。试问，这种抽取 样品的过程至少要进行几次，才能完全搞清楚三只葫芦里所装 的各是哪种药？ 办法是：只要从贴有“黑、白”那张标签的葫芦里摸出一 块药就够了。如果取出的是黑木耳，那么你马上可以判定这只 葫芦里的另外一块药也是黑木耳。否则，如果是白木耳的话， 标签岂不是贴对了吗？其次，你立刻就能判断出，贴着“白、 白”标签的那只葫芦，它装的药当然不会全部都是白木耳，那 么，难道它会装两块黑木耳吗？肯定也不会，因为，“黑、黑” 的情况，上面已经有过了。所以；这只葫芦里装的药，只能是 一块黑木耳和一块白木耳。于是，最后剩下来的也只有一种可 能性了。即贴着“黑、黑”的那只葫芦，实际上所装的是 “白、白”。 如果第一次摸出的是白木耳，也可以仿照上面的办法进行 推断。不难发现，其结果是：贴着：“黑、白”标签的葫芦， 装的乃是“白，白”；贴着“黑、黑”标签的葫芦，装的实际 20