好玩的数学 乐在其中的数学 1.5 悟空拜师 唐僧收伏孙悟空，是他到西天取经路上所干下的第一桩大 事。如果没有这位神通广大的“齐天大圣”做他的大徒弟，也 许他早就被妖怪们煮熟了当肉吃哩！ 《西游记》里说，猎户刘伯钦，绰号镇山太保，恭送唐三 裁到了大唐与鞑粗国的边境两界山，正在难舍难分，叮咛拜别 之时，只听得山脚下叫喊如雷：“我师父来也！我师父来也！” 吓得唐僧胆战心惊。 伯饮道：“这叫的必定是那山脚下石盒中的老猿。”三藏追 问：“是什么老猿？”伯饮道：“这山旧名五行山，因我大唐皇 帝征西，改名两界山。从前曾听到老人家说，王莽篡汉之时， 天降此山，下面压着一只神猴，不怕寒暑，不吃饮食，自有土 地神监押，教它饥餐铁丸，渴饮铜汁。自昔到今，冻饿不死。 长老莫怕，我们下山去看来。”走了几里路，果然那石匣之下， 有一只猴子露着头，胡乱招手道：“师父，你怎么此时才来。 来得好！来得好！救我出来，我好保你上西天去也！” 唐僧上前细看，这猴果然浑身仙气，尖嘴缩腮，金晴火 眼，便问道：“你是何人？为何关在这里？压在这里多少年 了？”那猴回答：“我是齐天大圣孙悟空，只因大闹天宫犯了欺 君大罪，被如来佛祖压于此处。前些日子观音菩萨叫我在此等 候师父救我脱身，我愿拜您为师，保您到西天取经。至于压我 多少年了，只记得早已超过了六百年。”唐僧一听此言，忽然 动了好奇心，便追问它压在山下的确切年数。 那猴儿把眼睛眨巴眨巴，调皮地说：“小徒请师父计算一下： 6
第一章○古算题·逻辑·游戏•竞赛 那年头呀：说来倒是真巧！此数若用3除，余数为1；用 5除时，余数也是1；用7除时，余数偏偏仍引旧是1。只要师父 掐指一算，这个准确数字就出来了。” 正好当时伯饮也在跟唐僧学算术，于是唐三戴就先让他来 试上一试。伯钦想，这是一个很现成的题目，调皮的猴头可难 不倒我哩。不是有一首很有名的“韩信点兵”歌决吗，它一共 有四句： 三人同行七十稀，五树梅花廿一支； 七子团圆正半月，除百零五便得知。 用它来解决除数为3、5、7的问题可以迎刃而解，这就 是说，只要用以3除所得的余数去乘70，以5除所得的余数 去乘21，以7除所得的余数去乘15，把这三个乘积加起来， 所得之和或加上、减去105的整数倍就可以得出符合题意的 答数。 于是他写出算式 1×70+1×21+1×15=106 106+5×105=106+525=631 他得意洋洋地向唐僧汇报，孙悟空被压在五行山下，到此 正好是631年。 谁知唐僧却批评他这种解法很笨拙，只知死套公式，不会 灵活运用。他说：“好比是看菜吃饭，量体裁衣，做题目也是 这样，能取巧的地方就尽量取巧。否则，要被孙猴子讥笑的。 你不去想想，用3、5、7这三个除数去除时，余数统统都是1。 非常明显，满足题意的最小自然数就是1。因为，商数统统可 以看成是零啊！这样一来，再加上3、5、7的最小公倍数105 的整数倍，直到它超过600，答数不是就自动露头了吗？
好玩的数学 乐在其中的数学 1+105×6=1+630=631” 唐三藏揭去了金字封条，只听得一声山崩地裂之响，悟空 得救而出。三藏收了第一个徒弟，起名行者。师徒两人，别了 伯钦，走上了西天取经的大路。 这里值得补充一句的是：唐僧取经是在唐太宗李世民贞观 十三年（公元639年），而王莽篡位的那年是公元8年，两者 相减，639-8=631；所以并不是我们有意要改变数据，把题 目改得比较容易，而是自然而然的巧合！ 《西游记》由于长期流传，辗转抄写，所以书中也不可避 免地有些错误。这一桩故事，有些抄本上说是孙猴子被压五百 年，但是“真本”《西游记》书上，却明确说的是六百年，所 以读者必须考证精确，才不至于以讹传讹。 1.6金角、银边、草肚皮一关于围棋与数 学的趣谈 围棋界有句口头禅：“金角、银边、草肚皮。”意为首先 抢占棋盘角上的位置，那里最容易盘活。其次考虑在棋盘上 靠边的部位布阵，那里也容易生根立足。至于棋盘的腹部 呢？四面不靠，正是兵家所谓的“四战之地”，很容易被包 围吃掉。 中国古代著名学者、《梦溪笔谈》的作者沈括曾经研究过 棋局，他根据棋盘上每一点都有黑、白、空三种可能，而围棋 盘上共有19×19=361点，所以可能产生的不同局势总数共有 31种（实际上应该是361-1，想一想，这是为什么）。 31这个数字究竟有多么大呢？用常用对数来估算一下， 8
第一章◎古算题·逻辑·游戏·竞赛 就可以知道 31>1.72×10m 这个数字之大，一般人想像不出。假定全世界现有的66亿 人口不论男女老幼都来下围棋，每人每天下一局，要下完 1.72×10P局棋，就得花费1.72×10年，而且目前推算出来的 宇宙年龄也才不过200亿年，即2×10°年。即使从开天辟地的 第一天就下围棋，到如今也才下了全部局数的亿亿亿分之一？ 339>1.72X10172 图1-1 如果再从运筹学的角度来考虑，围棋的变化就更加惊人 了。在19×19的棋盘上，下第一子的人可以有361种选择机 会，接着的人就只有360种选择机会，依次递减，全部变化将 达361×360×359×…×2×1=361！，称为361的阶乘（注：阶 乘，从1开始的n个自然数连乘，记作“n!”)。 31与361！比起来，真是小巫见大巫。用数学方法可以大 致估量出361！>1.43×10。目前世界上最快速的电子计算 机，每秒可做2500亿次运算，而一年有365×24×60×60= 31536000秒，即使动用这种超高速计算机，也需要1.81×109 年。宇宙的年龄与之相比，简直是沧海一粟了」 9
好玩的数学 乐在其中的数学 迄今为止，用数学方法对围棋作定性、定量的研究仍很肤 浅，甚至可以说还没有真正起步。因为，围棋的本质决定了它 只能用“离散数学”的办法加以探讨，至于以“极限”、“无穷 小”为基石的微积分之类高等数学统统都用不上。 由当代三位第一流数学家重编的对策论巨著《稳操胜券》， 几乎囊括了古今中外一切智力玩具与游戏的获胜原理与最优着 法，即便是此书，对有名的围棋也未涉及一字。有人戏言，找 出围棋的最优解，似乎要比人类攻克癌症或者在火星和金星上 建造永久定居点要困难得多，这或许不是夸大其词吧！ 17 清卡片，学推理 许多人（其中尤其是中、小学生居多）喜欢做智力测验 题，特别是一些趣味逻辑问题，浅显易懂，不需要高深的预备 知识来“垫底”，谁都可以试上一试。这种“头脑角力”，无论 对青少年还是成年人，在培养逻辑推理能力方面都十分有益。 下面讲一个有趣的例子。 有位老师取出写着1到10的十张卡片，每张一数，不重 不漏，像洗牌一样打乱它们的排列顺序，然后把赵、钱、孙、 李、周五位同学叫到讲台前，发给每人两张卡片，叫他们把自 己手里两张卡片上的数字之和写在黑板上： 赵11 钱4 孙7 李16 周17 接着，老师让其他同学根据黑板上的线索，猜出他们五个 人分别拿了哪两张卡片。乍一听，老师的要求很像是“瞎子摸 10