O第一章 古算题·逻辑·游戏·竞赛 1.1 三李四橄榄七 桃子一个要三文钱，李子一个要四文钱，而橄榄一文钱可 以买七个，若拿一百文钱去买这三种果子，每种都得买，又恰 好买一百个，问每种应各买几个？ 这是流传于福建民间的一个古算题。 设应各买桃子、李子、橄榄x、y、z个，则可列出方 程组 [x+y+z=100 (1.1) 1 3x+4y+7z=100 (1.2) 由（1.1)，得z=100-x-y。 代(1.2，得x=0-y-貉。 因x是正整数，故y必为20的倍数。令y=20t,则x= 30-27t,z=70+7t,其中t为正整数。 又因x、y、z均为正整数，所以0<t≤1，即t=1。从而 得(x,y,z)=(3,20,77)。也就是说，应买桃子3个，李 子20个，橄榄77个。 上述解法中，方程组有三个未知数，却只有两个方程， 称为不定方程组，不定方程组一般有无限多组解，但其整 数解、正整数解，往往是有限的。像此题只有唯一一组正
好玩的数学 乐在其中的数学 整数解。 1,2韩信立马分油 江苏省徐州市是个历史名城，自古以来为兵家必争之地， 该地古称彭城，楚霸王项羽曾在这里建都。清朝康熙年间，有 位诗人路过，写了一首非常有名的诗批评汉高祖刘邦杀戮功臣 的罪过，造成了匈奴入侵，国防空虚的局面： 天子依然归故乡，大风歌罢转苍茫。 当时何不怜功狗，留取韩、彭守四方。 诗中提到的韩信是帮助刘邦打败项羽的主角，立了大功， 与张良、萧何号称“汉初三杰”，曾被刘邦封为楚王，后来降 为淮阴侯。民间流传，韩信具有极高的智慧和军事才能，“立 马分油”就是很突出的例子。 据说有一天，身为主将的韩信骑了马，走在路上，看见路 边有两个人为分油而发愁。原来，他们有一只容量为10斤的 篓子，里面盛满着油，还有一只空罐和一只空葫芦，可以分别 装7斤和3斤油。两个家伙想把10斤油平分，每人得5斤。 但是准备工作没有做好，谁也没有带秤，只能在三个容器里倒 来倒去，于是感到束手无策。 韩信听了，便立即表态说：“这有何难？”他随即指出了窍 门：“葫芦归罐罐归篓，分好油来回家走。”两个人心领神会， 按照韩信所教的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，高高 兴兴地打道回府去了。 如果用言语来叙述倒进倒出，那是很繁琐的，我们可以用 表1-1来说明三种容器内油量的变化情况。 2
第一章◎古算题·逻辑·游戏·竞赛 表1-1 篓 10 7 7 4 4 11 8 8 55 罐 0 0 3 3 6670 22 葫芦 030 3 0 322030 韩信所说的“葫芦归罐”，意思是把葫芦里的油倒进罐里。 “罐归篓”是把罐里的油倒往篓里。通常分油要把油从大容器 往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。向 葫芦里倒油，可以得出3斤的油量，而把葫芦里的油往罐里 “归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。再把满满 一罐油“归”到篓子里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归” 到空罐里，最后再倒满一葫芦3斤油，“归”到罐里，就圆满 地完成了分油的任务。 本题还可以用“打弹子”的办法来解决，那又同物理学的 弹性碰撞与反射现象联系起来了。 1.3 嘉庆皇帝出妙题 清朝嘉庆皇帝爱新觉罗·题琰在位25年，社会比较安 定，科技也有一定的发展，通晓古算的人才也不断涌现，其 详情请参看《畴人传》这本专著（“畴人”是古人对数学家 的称呼)。 嘉庆曾编过一道数学趣题：有人花100两银子买了100头 牛，大牛每头值10两，小牛每头值5两，牛犊每头值半两。 试问：此人买了大牛、小牛与牛犊各多少头？ 这是一道不定方程问题，但它在解题中有一些独特技巧， 得出来的答案是唯一的。 3
好玩的数学 乐在其中的数学 设大牛、小牛与牛犊分别买了x、y、z头，则据题意可 列出方程 x+y+z=100 (1.3) 10x+5y+2:=100 (1.4) 把(1.4)式乘以2以后减去(1)式，我们可得出 19x+9y=100 (1.5) 从(1.5)式可知，x的值不能超过5。把（1.5)式变形， 改写为 x-1=9(11-2x-y) (1.6) 于是马上可以看得出，x-1必定是9的倍数，于是x只 能等于1，代人后，马上就可算出y=9,z=0。 所以此人买了1头大牛，9头小牛，90头牛犊。总而言 之，便是：一百两银子买一百头牛。 (1.6)式的技术处理是相当关键的一步，它可以省掉紫琐 的列表与讨论。 14阶下之四 “我真发愁，”监狱看守员说，“警察帕金斯留了个条子说， 昨天晚上他逮捕了两个牧师打扮的流氓。但我今早上班时却发 现一共有三个牧师打扮的人，现在看来其中有一名是个真正的 牧师，他是前来探望两个误入歧途的‘羔羊’的。问题是我现 在分不清准真谁假了。” “这有何难？想办法问问他们嘛，”警官建议，“真人不说 假话，真正的牧师一定是讲真话的。” “你说得倒不错，但我也许正好问到那个骗子呢？帕金斯
第一章⊙古算题•逻辑·游戏·竞赛 说过，这家伙是个撒谎老手，从来不讲真话。而那个赌棍则是 个见风使舵的角色，他说起话来，时真时假，要看形势对他是 否有利而定。” 警官走到单人牢房前。 “你是谁？”他问一号牢房里的囚犯。 “我是赌棍。”其人答道。警官又走到二号牢房前问： “一号牢房里关着的那个人是谁？” “骗子！” 警官又问三号牢房里的人：“你说一号牢房里的那人是谁？” 三号牢房里的人答道：“牧师。” 警官转身对看守员说：“很明显，你应该释放…” 该放谁？ 本题有许多解法，最直截了当的是，相信二号牢房囚犯的 回答，他说的是真话，于是所有的说法就都是相容与无矛盾 的，答案如下： 骗子关在一号牢房， 牧师关在二号牢房， 赌棍关在三号牢房。 逻辑趣题总是有着无穷的魅力，历来受到读者的喜爱。 本文是根据美国著名作家巴纳德的一本畅销书译出的，原文 写得非常诙谐有趣，令人喷饭。多看这类作品，不但可以提 高自己的智商，而且能写出一手漂亮而流利的英语，幽默大 师兼英文专家林语堂先生就特别赞赏这种英、汉对照的做 法，但为了保持本书前后体例一致与节省篇幅，此处就不刊 出英文的原作了。 5