前 言 数学家的模式，就像画家与待人的一样， 必须是美的，数学概念同油彩或语言文字一 样，必须非常协调。美是第一性的，丑陋的数 学在世上不会有永久的位置。 一G.H.哈代 科学家们认为，大自然这部伟大的书，是用数学 语言来写的。几千年来，古今中外的学者们将自然界 的千姿百态整理加工，使之形成一种理性的美一数 学美。对称、比例、简洁、深广、厚重、协调、统一、 精确、循环、往复、回归、韵律、平衡、奇异…无 不统一于其中，甚至混沌也是一种非凡的美。可以毫 不夸张地说，数学是打开科学宝库的一把钥匙。社会 的发展，科学和技术的进步，乃至向宇宙空间的移民， 样样都离不开数学。 但是，以上各种赞美之辞，都不意味着数学家可 以自我陶醉。由于它的枯涩语言，冷峻的定义与公式， 看上去怪里怪气的符号，数学就像一堵高墙，把它和 周围世界隔绝了。高墙里面究竟在干什么，外行人是 感到非常神秘的。他们猜想，那不过是一些枯燥乏味 的数字，受着生吞活剥的法则的支配，这种结构毫无 xi
好玩的数学 乐在其中的数学 生气，亘古不变，只有铁石心肠的人才有兴趣加以研 究。另一方面，这座高墙也大大限制了躲在大墙里面 的人们的视野，往往自鸣得意，漠视群众的智慧和创 造，故步自封，不愿走出象牙塔。正是由于数学太重 要了，数学必须义无反顾地向广大公众传播和普及， 才能取得社会的理解与支持。 法国大数学家帕斯卡早已有鉴于此，他敏锐地指 出：“数学这一学科是如此的严肃，我们应当千方百计 地把它趣味化。”2005年是国际物理年，我们不要忘 记爱因斯坦所走过的道路，在他的工作室里就堆放着 不少趣味数学读物，在紧张工作之余，他往往从中抽 出一本浏览一番，正是这种积极的休息，调整了他的 心态，摆脱定向思维的羁绊，勇敢地攀登前人梦想不 到的绝顶。 还可以举出牛顿、欧拉、费马、拉普拉斯、哈密 顿、庞加莱等大量例子，来说明趣味数学对启迪智慧、 促进发明的作用。名著《数学精英》翻来复去地阐明 了这样一个不争的事实：数学家实际上是一个着迷者， 不迷恋就不会有创新。这个道理，孔老夫子早已说得 很明白：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。” 兴趣刺激创造，创造获得成果，从而跃上新的台阶， 在新的台阶上又萌生新的兴趣…正是这种“兴趣一 创造一兴趣”循环往复的螺旋式上升，推动了数学一 波又一波地不断前进。回顾一下整个数学史，事实昭 然若揭：功利主义从来就不是重大发现或突出成果的 催生婆。 xii
O前言 趣味数学题材广泛，下到初等的算术、代数，上 至拓扑学、泛函分析等艰深学科，处处都有它的踪迹， 而且，在趣味数学与严肃数学之间，并不存在一道泾 渭分明的鸿沟。世界上确实存在着既是数学名家，又 是趣味数学大师的“两栖”人物。不但过去有，现在 有，将来肯定也会有，甚至为数更多。 在悠悠的历史长河中，积累了大量趣味数学素 材，我国古代就有一些有识之士非常重视趣味数学在 启蒙教育方面的作用，他们编制歌诀和“顺口溜”， 通过生动活泼的形式，让人们怀着愉快的心情去思考 和解决数学问题。早在公元16世纪，明朝学者程大 位编的《直指算法统宗》，书中很多题目用歌谣体写 成，琅琅上口，趣味隽永，可读性极强，因此一再翻 印，长盛不衰，名震還迩，流传到日本、朝鲜和东南 亚各国。 常言道，“读万卷书，行万里路”，要写好书，必 须占有资料，这乃是不易之理。我是一个爱书、读书、 抄书、借书、买书、背书、藏书成癖的人，而且数十 年如一日。有一则新闻说上海人的平均藏书量只有 0.24册，如以这个数字计算，则我的藏书量在2001年 6月祖传老屋拆迁以前，大致相当于它的20万倍，即 5万册左右。私家藏书能达到如此规模，也就相当不 容易了。 我所买的大都是旧书，也就是淘来的东西。大 凡淘旧书，跑的地方一定要多，收购面必须广，可 谓“蜻蜓点水”，面面俱到。解放前，上海棋盘街， xiⅲ
好玩的数学 乐在其中的数学 豫园城隍庙，老西门文庙都是我足迹常到之处，甚 至不惮远行，徒步走到北四川路底的内山书店去。 在淘旧书的生涯中有几桩事足以影响我的一生。第 一桩事是英国天文学家秦斯爵士所著的、金克木老先生 翻译的《流转的星辰》(The Stars In Their Courses),它使 我走上了毕生从事科普写作的道路，这件事我已在江苏 教育出版社几年前出版的《金苹果文库》中作了比较充 分的阐述，在此只想略提一笔。可惜由于这本书没有同 其他天文学藏书放在一起，而是另外打包，在搬家时不 幸丢失。遭殃的还有我从上海、北京、天津、南京、杭 州、西安、长春等地的公私图书馆中所抄与复印的马 丁·加德纳先生在《科学美国人》(Scientific American) 杂志上发表的、首尾20余载的数学游戏专栏上的全部 文章，以致数十年心血，毁于一旦。对我以及许多数学 爱好者来说，都是无可估量的损失。 倘若采用“拟人化”的观点，将书比喻为“人”， 那么，也有幸免于难的。在这里，特别值得一提的， 乃是被我从上海锦江饭店附近长乐路旧书店里淘来的 《数学世界》(The World of Mathematics)一套四大册的 外文原版书了。它是我国老一辈著名学者、教育家、 华东师范大学数学系前主任、后调往江西南昌去的孙 泽瀛教授（已故)从美国纽约买回来的，·当时还有七 成新的样子。书中居然还夹着“文化大革命”时期红 卫兵的“勒令”与孙先生自己所写的“交代”与“认 罪书”。孙先生逝世之后，不知道它通过什么渠道流落 到旧书店里去了。众所周知，好的数学书一般不会过 xiv
O前言 期。这套书中的好材料，简直可以用“取之不尽，用 之不竭”八个大字来形容。可惜它的篇幅过于庞大， 修改或将它“本土化”，尚需花费很大精力。笔者耿耿 于怀，时常念及于此。 由于历史原因，加上自身努力，或者由于工作关 系而获得名师传授，我曾学过英、日、俄、德、法等 多种外语，当然与吾乡前辈赵元任先生相比，浅陋得 很，不值一提，但对我的大学任教，乃至科研、写作 帮助不小，并进而知晓这些国家都曾出过不少极有价 值的趣味数学读物，恨不能一一择优翻译引进，至今 未能实现夙愿，深感遗憾。 作为自已的“封笔”之作，主观上想把趣味数学 的各个门类都能一一点到。但毕竟由于时间与精力所 限，这个愿望远远未能达到，只好寄希望于后之贤 者了。 在编写本书时，曾学习与借鉴了数学科普大师马 丁·加德纳先生，数学教育家乔治·波利亚先生，当代 大数学家约翰·康韦教授，日本东京大学岩堀長慶教 授，平山谛先生，我国科普界前辈、西北工业大学一 级教授姜长英老先生等人的学术讲演、报告与著作。 长沙国防科技大学刘江宁先生主动来信赐告超完全数 字不变数的搜索方法，南汇俞润汝先生所发现的超越 印度数学家J.V.Chaudhari与M.N.Deshpande和美国 数学家Thomas Owent的神奇初等解法等，作者谨在此表 示最衷心的感谢！ XV