O总序 方法。 中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想， 曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助 于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法， 发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的《中国 古算解趣》，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺 术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沾酒等40余 个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响 的一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背 景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的 生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物。 读一读《好玩的数学》，玩一玩数学，是消闲娱 乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再 多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感觉。 举两个例子： 《中国古算解趣》第37节，讲了一个“三翁垂钓” 的题目。与此题类似，有个“五猴分桃”的趣题在世 界上广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政 道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国 科学技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题， 据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做 过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。 李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾 用高阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个 巧妙的解法。其实，仔细想想，有一个十分简单有趣 的解法，小学生都不难理解
好玩的数学 乐在其中的数学 原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因 为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。 过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没 来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个， 就将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多 久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过， 还以为自已是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起 来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1 个，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子 都是这样…问这5只猴子至少摘了多少个桃子？第 5个猴子走后还剩多少个桃子？ 思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实 际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。 好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的 桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚 好均分成5堆，就容易算了。 想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够 被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个 桃子还了，可知5只猴子至少摘了3121个挑子。 容易算出，最后剩下至少1024-4=1020个桃子。 细细地算，就是： 设这1堆桃子至少有x个，借给它们4个，成为 x+4个。 5个猴子分别拿了a,b,c,d,e个桃子（其中 包括吃掉的一个)，则可得 a=(x+4)/5 i
⊙总序 b=4(x+4)/25 c=16(x+4)/125 d=64（x+4)/625 e=256(x+4)/3125 e应为整数，而256不能被5整除，所以(x+4) 应是3125的倍数，所以 (x+4)=3125k（k取自然数) 当k=1时，x=3121 答案是，这5个猴子至少摘了3121个桃子。 这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似 变换法，也是数学方法论研究中特别看重的“映射-反 演”法。小中见大，也是数学好玩之处。 在《说不尽的π》的5.3节，谈到了祖冲之的密率 355/113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确 度很高。在所有分母不超过113的分数当中，和π最 接近的就是355/113。不但如此，华罗庚在《数论导 引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的 分数当中，和π最接近的还是355/113。后来，在夏道 行教授所著《π和e》一书中，用连分数的方法证明， 在所有分母不超过8000的分数当中，和π最接近的仍 然是355/113，大大改进了336这个界限。有趣的是， 只用初中里学的不等式的知识，竟能把8000这个界限 提高到16500以上！ 根据π=3.141526535897…，可得1355/113-π< 0.000000266T7,如果有个分数g/p比355/113更接近元，一 定会有 vii
好玩的数学 乐在其中的数学 355/113-q/p|<2×0.00000026677 也就是 355p-113g/113p<2×0.00000026677 因为g/p不等于355/113，所以|355p-113g不是 0。但它是正整数，大于或等于1，所以 1/113p<2×0.00000026677 由此推出 p>1/(113×2×0.00000026677)>16586 这表明，如果有个分数g/p比355/113更接近π， 其分母p一定大于16586。 如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡 刀宰牛。 数学问题的解决，常有“出乎意料之外，在乎情 理之中”的情形。 在《数学美拾趣》的22章，提到了“生锈圆规” 作图问题，也就是用半径固定的圆规作图的问题。这 个问题出现得很早，历史上著名的画家达·芬奇也研究 过这个问题。直到20世纪，一些基本的作图，例如已 知线段的两端点求作中点的问题（线段可没有给出 来)，都没有答案。有些人认为用生锈圆规作中点是不 可能的。到了20世纪80年代，在规尺作图问题上从 来没有过贡献的中国人，不但解决了中点问题和另一 个未解决问题，还意外地证明了从2点出发作图时生 锈圆规的能力和普通规尺是等价的。那么，从3点出 发作图时生锈圆规的能力又如何呢？这是尚未解央的 问题。 viii
⊙总序 开始提到，数学的好玩有不同的层次和境界。数 学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有 所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得 到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻 翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师 参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可 以作为学生课外读物，有助于开阔眼界、增长知识、 锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学 生、研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。数 学大师华罗庚提倡“小敌不侮”，上面提到的两个小题 目都有名家做过。丛书中这类好玩的小问题比比皆是， 说不定有心人还能从中挖出宝矿，有所斩获呢。 罗嗦不少了，打住吧。谨以此序祝《好玩的数学》 丛书成功。 孩号中 2004年9月9日 ix