21.3实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型,并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题 通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系” 建立数学模型,并利用它解决实际问题. 重难点关键 1.重点:用“倍数关系”建立数学模型 2.难点与关键:用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 、复习引入 (学生活动)问题1:列一元一次方程解应用题的步骤? ①审题,②设出未知数.③找等量关系.④列方程,⑤解方程,⑥答 、探索新知 上面这道题大家都做得很好,这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型 那么还有没有利用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应 用题呢?请同学们完成下面问题 (学生活动)探究1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染 中平均一个人传染了几个人? 分析:1第一轮传染,1+x第二轮传染后1+x+x(1+x) 解:设每轮传染中平均一个人传染了ⅹ个人,则第一轮后共有 人患了流感,第二轮后共有 人患了流感 列方程得1+x+x(x+1)=121 x2+2x-120=0 解方程,得x1=-12, 10 根据问题的实际意义,x=10 答:每轮传染中平均一个人传染了10个人 思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?(121+121×10=1331) 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗? (后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍) 四.巩固练习 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小
21.3 实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问 题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系” 建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列一元一次方程解应用题的步骤？ ①审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答. 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型， 那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应 用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）探究 1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染 中平均一个人传染了几个人? 分析: 1 第一轮传染 1+x 第二轮传染后 1+x+x(1+x) 解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共有 人患了流感,第二轮后共有 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121 x 2 +2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10 根据问题的实际意义,x=10 答:每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? (121+121×10=1331) 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗? （后一轮被传染的人数前一轮患病人数的 x 倍） 四.巩固练习. 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小
分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x个小分支, 则1+x+x.x=91即x2+x-90=0解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去 答:每个支干长出9个小分支 2.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加 比赛? 五、归纳小结 本节课应掌握: 1.利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型,并利用恰当方法解它. 2.列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验 -检验方程的解是否符合题意,将不符合题意的解舍去。(6)答 六、布置作业 1.教材复习巩固24 21.3实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型,解决增长率与降低率问题。 教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。 重难点关键 1.重点:如何解决增长率与降低率问题 2.难点与关键:解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)°=b,其中a是原有量,x增长(或 降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量 教学过程 探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随 着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是 3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率 解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲 种药品成本为5000(1-x)2元,依题意得 5000(1-x)2=3000 解方程,得
分支的总数是 91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出 x 个小分支, 则 1+x+x.x=91 即 x2+x-90=0 解得 x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出 9 个小分支. 2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛 2 场,计划安排 90 场比赛,应邀请多少个球队参加 比赛? 五、归纳小结 本节课应掌握： 1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验 ——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答 六、布置作业 1．教材复习巩固 2 4 21.3 实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。 教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。 重难点关键 1．重点：如何解决增长率与降低率问题。 2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式 a(1±x)n =b,其中 a 是原有量,x 增长（或 降低）率,n 为增长（或降低）的次数,b 为增长（或降低）后的量。 教学过程 探究 2 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元,生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元,随 着生产技术的进步,现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元,生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率 解:设甲种药品成本的年平均下降率为 x,则一年后甲种药品成本为 5000(1-x)元,两年后甲 种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得 5000（1-x） 2 =3000 解方程,得
x1≈0.225,x2≈1.775(不合题意,舍去) 答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5% 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率 (22.5%,相同 思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗? 应怎样全面地比较对象的变化状况? (经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价 格.) 小结:类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它 们的数量关系可表示为a(1±x)"=b(中增长取+,降低取一) 二巩固练习 (1)某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木 材多少立方米? (2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度 共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为 (3)公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额 共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率 4.某种细菌,一个细菌经过两轮繁殖后,共有256个细菌,每轮繁殖中平均一个细菌繁殖 了多少个细菌? 三应用拓展 例2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下 的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息 共1320元,求这种存款方式的年利率 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息 是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其它依此类推 解:设这种存款方式的年利率为x 则:1000+2000x·80%+(1000+2000x·8%)x·80%=1320 整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0 解得:x1=-2(不符,舍去),x2==0.125=12.5% 答:所求的年利率是12.5%. 四、归纳小结
答:甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%. 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率 (22.5%,相同) 思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ? 应怎样全面地比较对象的变化状况? （经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价 格.） 小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后的量是 b,则它 们的数量关系可表示为 a(1±x)n =b(中增长取+,降低取－) 二巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场有木 材多少立方米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度 共生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程为 __________． (3)公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、 二月、三月的营业额 共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖 了多少个细菌？ 三应用拓展 例 2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下 的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息 共 1320 元，求这种存款方式的年利率． 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息 是 1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320 整理，得：1280x2 +800x+1600x=320，即 8x2 +15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2= 1 8 =0.125=12.5% 答：所求的年利率是 12．5%． 四、归纳小结 x1 0.225, x2 1.775(不合题意,舍去)
本节课应掌握:增长率与降低率问题 21.3实际问题与一元二次方程(3) 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题. 重难点关键 1.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实 际问题 2.难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型 教具、学具准备 小黑板 教学过程 复习引入 (一)通过上节课的学习,大家学到了哪些知识和方法? 二)上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积 体积问题。 1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢? 2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 3.梯形的面积公式是什么? 4.菱形的面积公式是什么? 5.平行四边形的面积公式是什么? 6.圆的面积公式是什么? (学生口答,老师点评) 、探索新知 现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题 例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽 比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m,需要多少天才能把这条渠道挖完? 分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4, 那么,根据梯形的面积公式便可建模
本节课应掌握：增长率与降低率问题 21.3 实际问题与一元二次方程(3) 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1.重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实 际问题． 2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （一）通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ （二）上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、 体积问题。 1．直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2， 上口宽 比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，渠底为 x+0.4， 那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解:(1)设渠深为xm 则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2) 依题意,得:-(x+2+x+0.4)x=1.6 整理,得:5x2+6x-8=0 解得:x1=-=0.8m,x2=2(舍) 上口宽为2.8m,渠底为1.2m 1.6×75 25天 答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道 学生活动:例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之 上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)? 数 思考:(1)本体中有哪些数量关系? (2)正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解? (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程 老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定: 上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均 为7xcm,依题意,得:中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm. 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的,则中央矩形的面积是封面面积的 所以(27-18x)(21-14x)=-×27×21 整理,得:16x2-48x+9=0 解方程,得:x= 6±33 2.8c1 ≈0.2 所以:9x1=25.2cm(舍去),9x2=1.8cm,7x2=1.4cm 因此,上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm
解：（1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得： 1 2 （x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2 +6x-8=0 解得：x1= 4 5 =0.8m，x2=-2（舍） ∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2） 1.6 750 48 =25 天 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 学生活动：例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm， 正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之 一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？ 九 年 级 练 数 学 习 同 步 思考： (1)本体中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7， 由此可以判定： 上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm， 则左、右边衬的宽均 为 7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 1 4 ，则中央矩形的面积是封面面积的． 所以（27-18x）（21-14x）= 3 4 ×27×21 整理，得：16x2 -48x+9=0 解方程，得：x= 6 3 3 4 ， x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm．