213实际问题与一元二次方程 第1课时用一元二次方程解决传播问题 逦预习号学 1·列一元二次方程可以解决许多实际问题解题的一般步骤是:①审题,弄清已知量 未知量;②设未知数,并用含有_未知数的代数式表示其他数量关系;③根据题目 中的等量关系’列一元二次方程;④解方程’求出未知数的值;⑤检验解是否符 合问题的实际意义;⑥写出答案 2·一个两位数,个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数为10b+a,若交换 两个数位上的数字,则得到的新两位数为10a+b 令)课内练 知识点1:倍数传播问题 1·某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,若主干、 支干和小分支的总数是91,设每个支干长出小分支的个数为x,则依题意可列方程为1+x +x2=91 2·某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达 24000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 )每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? (2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌? 解:(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出ⅹ个有益菌,根据题意得60(1+x) 24000,解得x1=19,x2=-21(不合题意,舍去),则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 19个有益菌(2)60×(1+19)3=60×203=480000个),则经过三轮培植后共有480000个有 知识点2:握手问题 3·(2014天津)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时 间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x 满足的关系式为(B) Ax(x+1)=28 B.x(x-1)=28 C·x(x+1)=28D.x(x-1)=28 4·在某次聚会上’每两人都握了一次手,所有人共握手210次,设有x人参加这次聚 x(x-1) 会,则依题意可列出方程为 =210 5·在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,会议结東 后统计共签订了78份合同,问有多少家公司出席了这次交易会? 解:设有x家公司出席了这次交易会,根据题意得x(x-1)=78,解得x=13,x2= 12(不合题意,舍去),故有13家公司出席了这次交易会 知识点3:数字问题 6·两个连续偶数的和为14,积为48,则这两个连续偶数是6和8 7已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6,个位上的数与十位上的数的和是13, 求这个两位数 解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(13-x),由题意得10(13-x)+x+6 =x2,整理得x2+9x-136=0,解得x1=8,x2=-17不合题意,舍去),∴13-x=5,则这 个两位数是58
21.3 实际问题与一元二次方程 第 1 课时 用一元二次方程解决传播问题 1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、 __未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目 中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符 合问题的__实际意义___；⑥写出答案． 2．一个两位数，个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数为__10b＋a___，若交换 两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a＋b___． 知识点 1：倍数传播问题 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、 支干和小分支的总数是 91，设每个支干长出小分支的个数为 x，则依题意可列方程为__1＋x ＋x 2＝91___． 2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌． (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌，根据题意得 60(1＋x) 2＝ 24000，解得 x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 19 个有益菌 (2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有 480000 个有 益菌 知识点 2：握手问题 3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时 间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为( B ) A. 1 2 x(x＋1)＝28 B. 1 2 x(x－1)＝28 C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28 4．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 210 次，设有 x 人参加这次聚 会，则依题意可列出方程为__ x（x－1） 2 ＝210___． 5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束 后统计共签订了 78 份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？ 解：设有 x 家公司出席了这次交易会，根据题意得1 2 x(x－1)＝78，解得 x1＝13，x2＝－ 12(不合题意，舍去)，故有 13 家公司出席了这次交易会 知识点 3：数字问题 6．两个连续偶数的和为 14，积为 48，则这两个连续偶数是__6 和 8___． 7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小 6，个位上的数与十位上的数的和是 13， 求这个两位数． 解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为(13－x)，由题意得 10(13－x)＋x＋6 ＝x 2，整理得 x 2＋9x－136＝0，解得 x1＝8，x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则这 个两位数是 58
①课时达颠 8·生物兴趣小组的学生·将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠 了132件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是(B) C·x(x+1)=132×2D.x(x-1)=132×2 9·某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了15 条航线,则这个航空公司共有飞机场(C) 个B.5个C.6个D.7个 10·如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个 数(如6,7,8,13,14,15·20,21,2).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192 则这9个数的和为(D) 161718 B.126 C.135 D.14 11·一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数,若设较长的直角边长为x,则根据 题意列出的方程为x2+(x=1)2=(x+12 12·某剧场共有1050个座位,已知每行的座位数都相同,且每行的座位数比总行数少 17,求每行的座位数 解:设每行的座位数为x个,由题意得x(x+17)=1050,解得x1=25,y=-42(不合 题意,舍去),则每行的座位数是25个 3·有人利用手机发微信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信,经过两轮微 信的发送,共有56人手机上获得同一条微信,则每轮一个人要向几个人发送微信? 解:设每轮一个人要向x个人发微信,由题意得x(x+1)=56,解得x1=7,x=-8(不 合题意,舍去),则每轮一个人要向7个人发送微信 14·有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染 解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则1+x+x(x+1)=64,解得x1=7 X2=-9(不合题意,舍去),即每轮传染中平均一个人传染7个人(2)64×7=448(人) 15·读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽,千古风流数人物 而立之年督东吴,早逝英年两位数 十位恰小个位三,个位平方与寿符 哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠 了 132 件，如果全组有 x 名同学，则根据题意列出的方程是( B ) A．x(x＋1)＝132 B．x(x－1)＝132 C．x(x＋1)＝132×2 D．x(x－1)＝132×2 9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了 15 条航线，则这个航空公司共有飞机场( C ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3 个位置相邻的 9 个 数(如 6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为 192， 则这 9 个数的和为( D ) 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A.32 B．126 C．135 D．144 11．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为 x，则根据 题意列出的方程为__x 2＋(x－1)2＝(x＋1)2___． 12．某剧场共有 1050 个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少 17，求每行的座位数． 解：设每行的座位数为 x 个，由题意得 x(x＋17)＝1050，解得 x1＝25，x2＝－42(不合 题 意，舍去)，则每行的座位数是 25 个 13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微 信的发送，共有 56 人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？ 解：设每轮一个人要向 x 个人发微信，由题意得 x(x＋1)＝56，解得 x1＝7，x2＝－8(不 合题意，舍去)，则每轮一个人要向 7 个人发送微信 14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则 1＋x＋x(x＋1)＝64，解得 x1＝7， x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染 7 个人 (2)64×7＝448(人) 15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解:设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3,由题意得10x-3)+x =x2,解得x1=5,x2=6当x=5时,周瑜的年龄为25岁,非而立之年,不合题意,舍去 当x=6时,周瑜的年龄为36岁,符合题意,则周瑜去世时的年龄为36岁 艏战 16·(1)n边形(n>3)其中一个顶点的对角线有(n=3)条 (2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形? (3)是否存在有21条对角线的凸多边形?如果存在,它是几边形?如果不存在,说明理 由 解:(2)设这个凸多边形是n边形,由题意得 14解得n=7n=-4舍去), 则这个多边形是七边形(3)不存在,理由:假设存在n边形有21条对角线,由题意得 n (n 3√177 3±y177 21,解得n= ,因为多边形的边数为正整数,2不是正整数,故 不合题意,所以不存在有21条对角线的凸多边形
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x－3，由题意得 10(x－3)＋x ＝x 2，解得 x1＝5，x2＝6.当 x＝5 时，周瑜的年龄为 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当 x＝6 时，周瑜的年龄为 36 岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为 36 岁 16．(1)n 边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有__(n－3)___条； (2)一个凸多边形共有 14 条对角线，它是几边形？ (3)是否存在有 21 条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理 由． 解：(2)设这个凸多边形是 n 边形，由题意得n（n－3） 2 ＝14，解得 n1＝7，n2＝－4(舍去)， 则这个多边形是七边形 (3)不存在．理由：假设存在 n 边形有 21 条对角线，由题意得 n（n－3） 2 ＝21，解得 n＝ 3± 177 2 ，因为多边形的边数为正整数，但 3± 177 2 不是正整数，故 不合题意，所以不存在有 21 条对角线的凸多边形
第2课时用一元二次方程解决增降率问题 逦预习号学 1·若设每次的平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的数量为a,则第一次增长(或 降低)后的数量为a(1x),第二次增长(或降低)后的数量为_a(1+x±x),即 (l=x 2·某商品进价为a元,售价为b元,则利润为(b-a)元,若一天的销售量为c 则总利润为(b-ac元 课内精练 知识点1:平均变化率问题 1·(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果 园水果产量的年平均增长率,设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程 为(D) 144(1+x)2=100D.1001+x)2=144 2·经过两年的连续治理,某城市的大气环境有了明显改善,其每月每平方公里的降尘 量从50吨下降到40.5吨,则平均每年下降的百分率是(A) C.209 D.25%3某商品经过连续两次降价,销售 单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为20% 4·(2014·沈阳)某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利 润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加48万元,假设该产品利润每月的增长率相 同,求这个增长率 解:设这个增长率为x,根据题意得20(1+x)2-20(1+x)=48,解得x1=02=20% x2=-12(不合题意,舍去),则所求增长率为20% 知识点2:市场经济问题 5·某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件324元,若该 商品两次调价的降价率相同’则这个降价率为10‰:经调查,该商品每降价0.2元 即可多销售10件若该商品原来每月销售500件哪么两次调价后每月可销售商品880 件 6·(2014巴中)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元,经市场预测,销售定价为 52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个:定价每减少1元,销售量 净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若准备获利2000 元,则应进货多少个?定价为多少元? 解:设每个商品的定价是x元,由题意得(x-40[180-10x-52)=2000,整理得x2 l10+3000=0,解得x1=50,x2=60当x=50时,进货180-10(x-52)=200,不舍题意, 舍去:当x=60时,进货180-10(x-52)=100,符合题意,则该商品应进货100个,定价 为60元 7·小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买
第 2 课时 用一元二次方程解决增降率问题 1．若设每次的平均增长(或降低)率为 x，增长(或降低)前的数量为 a，则第一次增长(或 降低) 后的数量为__a(1±x)___，第二次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)(1±x)___，即 __a(1±x)2___． 2．某商品进价为 a 元，售价为 b 元，则利润为__(b－a)___元，若一天的销售量为 c， 则总利润为__(b－a)c___元． 知识点 1：平均变化率问题 1．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果产量为 144 吨，求该果 园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程 为( D ) A．144(1－x)2＝100 B．100(1－x)2＝144 C．144(1＋x)2＝100 D．100(1＋x)2＝144 2．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘 量从 50 吨下降到 40.5 吨，则平均每年下降的百分率是( A ) A．10% B．15% C．20% D．25%3.某商品经过连续两次降价，销售 单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为__20%___． 4．(2014·沈阳)某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利 润逐月增加，3 月份的利润比 2 月份的利润增加 4.8 万元，假设该产品利润每月的增长率相 同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x，根据题意得 20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得 x1＝0.2＝20%， x2＝－1.2(不合题意，舍去)，则所求增长率为 20% 知识点 2：市场经济问题 5．某商场将某种商品的售价从原来的每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元，若该 商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为__10%___；经调查，该商品每降价 0.2 元， 即可多销售10件，若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品__880___ 件． 6．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定价每减少 1 元，销售量 净增加 10 个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过 180 个，商店若准备获利 2000 元，则应进货多少个？定价为多少元？ 解：设每个商品的定价是 x 元，由题意得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理得 x 2－ 110x＋3000＝0，解得 x1＝50，x2＝60.当 x＝50 时，进货 180－10(x－52)＝200，不舍题意， 舍去；当 x＝60 时，进货 180－10(x－52)＝100，符合题意，则该商品应进货 100 个，定价 为 60 元 7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买