数 理 着考处 ①若n<n2<0,则0≤<∞ ②若n1<0<m,则0<<∞ ③若0<n<n,则0<≤ 结论4: 时限序列的Z变换的收敛域为有限全Z平面
1 2 1 2 1 2 0 0 00 0 0 nn z nn z nn z Z Z < < ≤ <∞ < < < <∞ < < < ≤∞ 4 ①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 结论 ： 时限序列的 变换的收敛域为有限全 平面
数 理 23、Z平面与S平面的映射关系 着考处 考虑到z=e=e+)=eoeO (4.2.16) a=QT(rad) (1)S平面的左半面(a<0映射成Z平面的单位圆内(0s|2<1 (2)S平面的虚轴(a=0)映射成Z平面上的单位圆(=1) 3)S平面的右平面(a>0映射成Z平面的单位圆外(1<1≤∞) 4)S平面上平行于虚轴的带状域(a<σ<B)映射成Z平面 上的圆环域(e<2<e") (5)S平面的Ω从-x/7到z/时,z的幅角O从-到z(变化一周 6)S平面的Ω每增加2x/7时,Z的幅角o就增加2x(多对一映射, 即多值映射) 般将S平面g从-x/7到x/T的区间,称为主值区间
3、Z平面与S平面的映射关系 ( ) (4.2.16) ( ) 1 ( 0) (0 1); 2 (0) (1); 3 ( 0) (1 ); 4 sT j T T j T ze e ee z e T rad S Zz S Zz S Zz S σ σω σ ω σ σ σ + Ω == = ⎧⎪ = ⎨⎪⎩ = Ω < ≤< = = > < ≤∞ 考虑到 则 （） 平面的左半面 映射成 平面的单位圆内 （ ） 平面的虚轴 映射成 平面上的单位圆 （ ） 平面的右平面 映射成 平面的单位圆外 （） 平 ( ); 5 ( ); 62 2 T T Z e ze S T TZ S T Z S TT α β ασ β π π ω ππ π ωπ π π < < < < Ω − − Ω Ω − 面上平行于虚轴的带状域（ ）映射成 平面 上的圆环域 （ ） 平面的 从 到 时， 的幅角 从 到 变化一周 （ ） 平面的 每增加 时， 的幅角 就增加 （多对一映射， 即多值映射） 一般将 平面 从 到 的区间，称为主值区间
积列的变换与连续时间信号拉普木 x拉斯变换的关系 式(4.2.3)揭示了序列的z变换(=)与样值信号拉普拉斯 变换X(s)之间的关系,由此关系,可以进一步揭示序列的Z 变换X(z)与连续时间信号拉普拉斯变换X(s)之间的关系。 考虑到式(42.3)及式(4.1.2),则有 X(z=X(s) Xa(s-jkQ2) In 2k丌 X (In k=-00 X ce ∑[X(s) (4.2.17)
1 1 ln ln 2 4.2.3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4.2.3 4.1.2 1 () () ( ) 1 12 ( ln ) 1 1[ ln( ) s a s as sz sz T T k a k j k a Z Xz Xs Z Xz X s X z X s X s jk T k X zj TT T X ze T T π π +∞ = = =−∞ +∞ =−∞ − = = −Ω = − = ∑ ∑ 式（ ）揭示了序列的 变换 与样值信号拉普拉斯 变换 之间的关系，由此关系，可以进一步揭示序列的 变换 与连续时间信号拉普拉斯变换 之间的关系。 考虑到式（ ）及式（ ），则有 1 2 ln( ) ] 1 [ ( ) ] (4.2.17) j k k a s ze k T X s T − π +∞ =−∞ +∞ = =−∞ = ∑ ∑ 4、序列的 Z变换与连续时间信号拉普 拉斯变换的关系
数 理 着考处 若连续时间信号x2(1)的双边拉普拉斯变换X(s)可表示成 有理分式,即 CII(s-S) X,(s N(s)= (C为常数) (4.2.18) D(s) ∏(S-S) 式中,N(s)=CI(s-s),D(s)=∏(s-s;) 显然D(s)=0,称s=s为的X(s)板点,N)=0,称s=S 为X(S零点。由式(42.17)可知,若s=s为X2(s)板点, 则序列x(n)的Z变换X(=)极点=满足 n(二e) 即 s7+j2kn-。17 (4.2.19)
1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.2.18) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () 0 () ( ) 0 ( ) 4.2.17 a a M j j a N i i M N j i j i i i a j j a x t X s C ss N s X s C D s s s Ns C s s Ds s s D s s s X s Ns s s X s = = = = Π − = = Π − = Π − =Π − = = = = 若连续时间信号 的双边拉普拉斯变换 可表示成 有理分式，即 （ 为常数） 式中， ， 显然 ，称 为的 极点， ，称 为 的零点。由式（ ）可知 2 2 ( ) () () 1 ln( ) (4.2.19) i i i a i j k i i sT j k sT i s s Xs xn Z X z z z s ze T ze e π π − + = = = = = ，若 为 的极点， 则序列 的 变换 的极点 满足 即
数 理 着考处 由式(42.19)可知,序列x(m的双边Z变换X(=舶板点z= 与连续时间信号x(1)的双边拉普拉斯变换的极点=s存在映射 关系二=e”,并将X(s)在S平面上的区左极点(Re[s<a的极 点)、区右极点(Res>的极点)分别映射成X()在z平面 上的区内极点(2<e的极点)、区外极点(Re]>极点) 因此,以因果信号、反因果信号和双边信号x(双边拉 普拉斯变换X(s)的收敛域为依据,按式(4.2.19)可以直接给 出相应的因果序列、反因果序列及双边序列x(n)的Z变换X(z) 的收敛域
4.2.19 ( ) ( ) ( ) ( ) Re[ ] Re[ ] ( ) Re[ ] ( ) i i a i s T i a T a x n Z Xz z z x t s s z e Xs S s s X z Z z e s x t α α β β = = = < > < > 由式（ ）可知，序列 的双边 变换 的极点 与连续时间信号 的双边拉普拉斯变换的极点 存在映射 关系 ，并将 在 平面上的区左极点（ 的极 点）、区右极点（ 的极点）分别映射成 在 平面 上的区内极点（ 的极点）、区外极点（ 的极点）。 因此，以因果信号、反因果信号和双边信号 的双边拉 普 ( ) 4.2.19 () () X s a xn Z X z 拉斯变换 的收敛域为依据，按式（ ）可以直接给 出相应的因果序列、反因果序列及双边序列 的 变换 的收敛域