《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第三章 离散傅里叶变换 §3-5 离散傅里叶变换的性质

第三章 离散傅里叶变换

§3-5离散傅里叶变换的性质 1.线性特性 x3(n)=ax1(n)+bx2(n) 迭加原理 X3(k)=DFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(k)+bX2(k) 2.可用正变换计算逆变换 x(0=x00m2=x(0m2=(0F71x(01 3.对称定理 Vx(n)←←DFT→X(k) 则X(n)<DFTx(-k)x(N-k) 0≤n≤N-1 0≤k≤N-1

1.线性特性 迭加原理 2.可用正变换计算逆变换      1 0 ( ) 1 ( ) N k kn WN X k N x n ( ) ( ) ( ) 3 1 2 x n  ax n  bx n 3  1 2  1 2 X (k)  DFT ax (n)  bx (n)  aX (k)  bX (k) 3.对称定理 x(n) X (k)  DFT 则 1 ( ) ( ) ( ) DFT X n x k x N k N     0  n  N 1 0  k  N 1 * 1 0 * ( ) 1          N k kn WN X k N   * * [ ( )] 1 DFT X k N 

S 3-5离散傅里叶变换的性质4.反转定理DFT > X(k)Vx(n)<则 x(-n)<DFT→X(-k)5.序列的总和N-1Zx(n) = X(k)lk=α = X(0)n=06.序列的起始值21X(k)x(0)=Nk=0

4.反转定理 5.序列的总和 1 0 0 ( ) ( ) (0) N k n x n X k X      则 x(n) X (k)  DFT x( n) X ( k) DFT     6.序列的起始值     1 0 ( ) 1 (0) N k X k N x

$ 3-5离散傅里叶变换的性质Z.序列加长后的DFTVx(n),0≤n≤N-1<→X(k),0≤k≤N-1令x(n), 0≤n≤N-1g(n0, N≤n≤mN-1VmEI问题：G(k)=DFT[g(n)] ～ X(k)

7.序列加长后的DFT 令           0, 1 ( ), 0 1 ( ) N n mN x n n N g n m I x(n),0  n  N 1 X (k),0  k  N 1 问题： G(k) DFTg(n) ~ X (k) △ 

S 3-5离散傅里叶变换的性质由DFT的定义：而mN-1X(k)= X(ejo2元G(k)= Zg(n)Why0NmAn=0k =0,1,,N-12元kmN-1ZNmX(ej°)<DTFTx(n)e→x(n)n=02元kN!1ZNmx(n)e:.G(k)与X(k)具有相同n=0的形状，不同之处是G(k)k的频谱间隔比X(k)的小= X(=)=X(e2元km即通过补零，可以得到更Nm加细致的频谱。k = 0,1,..,mN-1

    1 0 ( ) ( ) mN n kn g n WmN G k 由DFT的定义： 而 ( ) ( ) 0,1, , 1 ( ) ( ) 2 X e x n k N X k X e j DTFT k N j           具有相同 的形状，不同之处是 的频谱间隔比 的小。 即通过补零，可以得到更 加细致的频谱。 G(k)与X (k) G(k) X (k)      1 0 2 ( ) N n kn Nm j x n e       1 0 2 ( ) N n n m k N j x n e  k  0,1,,mN 1 m k N j X e m k X    ( ) ( ) 2    △