三、数列的极限 观察数列{x,=1当n→∞时的变化趋势 观察数列+1y↓当n→>∞时的变化趋势 ● 1 0.75 「播放
. ( 1) 1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 播放 三、数列的极限 观察数列 当 → 时的变化趋势 = n n xn 1
问题:当n无限增大时,x是否无限接近于某 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时,x=1+)"1 无限接近于 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 凭观察能判定数列{xn=(1+)y}的极限是多少吗 显然不能 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语 刻划它. 1)
问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n n x 通过上面演示实验的观察: 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 凭观察能判定数列 = + n n n x ) 1 (1 的极限是多少吗 显然不能 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = −
给定,由 100n100 只要n>100时,有xn-1< 100 给定 只要n>100时,有xn-1< 1000 1000 给定 只要n>1000时,有xn-1< 10000 10000 给定e>0,只要n>N(=时,有xn-1<E成立 8 这就是“当n无限增大时,xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述
, 100 1 给定 , 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn − 1 , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 1000 1 有 xn − 1 , 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 10000 1 有 xn − 1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 − 1 成立. xn 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述
定义如果对于任意给定的正数E(不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n>N时的一切xn 不等式xn-a<8都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列x收敛于a,记为 lim x=a,或xn→a(n→∞) n→0 如果数列没有极限,就说数列是发散的
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 定 义 如果对于任意给定的正数(不论它多么 小) ,总存在正数N ,使得对于n N 时的一切xn , 不等式 x − a n 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记 为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n
注 ①定义1习惯上称为极限的￡—N定义,它用两个 动态指标和N刻画了极限的实质,用xnl<E 定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给 E>0标志着“要多小”的要求,用n>N表示n充分 大。这个定义有三个要素:1,正数E,20,正数 N,3,不等式n叫<E(n>N) ②定义中的ε具有二重性:一是的任意性,二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了x逼近a时要 经历一个无限的过程(这个无限过程通过的任意 性来实现),但这个无限过程又要一步步地实现, 而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通 过的相对固定性来实现)
注 ①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：1 0 ，正数ε，2 0 ，正数 N，3 0，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N） ②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过ε的相对固定性来实现）