二.规范正交基 1.正交向量组 a与B正交:(a,B)=0 a为正交向量组 两两正交且不含零向量 如:a1=(,1,1),a2=(-1,2,-1),ax3=(-1,0,1) (a1,a2)=(an,a3)=(a2,a3)=0 a,a2a3为正交向量组
返回 二 . 规范正交基 1. 正交向量组 与 正交：(， ) = 0 . . , , , 1 2 两两正交且不含零向量 s 为正交向量组： (1 1 1) ( 1 2 1) ( 1 0 1) 如：1 = ，， ， 2 = − ，，− ， 3 = − ，， (1 , 2 ) = (1 , 3 ) = ( 2 , 3 ) = 0 , , . 1 2 3 为正交向量组
例1设A是n阶反对称矩阵,x是n维列向量, 且Ax=y,证明:x与y正交 证:(x,y)=x2y=xAx (,x)=y2x=(4x)x=x7x=-x7Ax, 由(x,y)=(J,x)可知: (x,y)=0
返回 例1 设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量， 且 Ax=y , 证明：x 与 y 正交 . (x y) x y x Ax T T 证： , = = ( y, x) y x (Ax) x x A x x Ax , T T T T T = = = = − 由 (x, y) = ( y, x)可知： (x, y) = 0
定理1正交向量组线性无关 证设a1,a2…,a,为正交向量组,且 K,a,+k k,a=0 则(a1k1a1+k2a2+…+k,a, =k1(a1,a1)+k2(x1,a2)+…+k,、(x1,a,) k1(an,a1)=0 1c1 >0 k1=0 同理:k2=k3 =0 1929 a线性无关
返回 定理1 正交向量组线性无关 . 证 设1， 2，， s 为正交向量组，且 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 ( ) s s 则 1，k11 + k2 2 ++ k ( ) ( ) ( ) k k ks s , , , = 1 1 1 + 2 1 2 ++ 1 ( , ) 0 , = k1 1 1 = ( , ) 0 , 0 , 1 1 k1 = 0 , 同理：k2 = k3 == ks = , , , . 1 2 s 线性无关