第22章量子力学基础 号【例2-1】原子从某一激发态跃迁到基态,发射出中心波长为,谱线宽度2的光 子,试估算: (1)此光子的动量不确定度2 (2)此光子的位置不确定度x, (3)原子处在激发态的寿命 (4)该激发态的能量宽度 【解】(1)光子的动量 光子动量的不确定度 外受 (2)由不确定关系 △xA222 得光子位置的不确定度 p△元 (3)原子在激发态的寿命 t==42 cc AA (4)激发态的能量宽度△E可由不确定关系 △8△:2h来估算得 号【例2-2】试用下列3种方法计算宽为。的无限深一维势阱中质量为▣的粒子的最小能 量(零点能): (1)德布罗意波的驻波条件, (2)不确定关系式: (3)薛定谭方程。 【解】(1)要达到稳定状态,德布罗意波在势阱中应形成驻波,能量最小时驻波的波长为 2 p= 2a,该势阱中粒子的动量 822 2 相应的能量 2m 8ma (2)由测不准关系△x=a
第 22 章 量子力学基础 【例 22-1】原子从某一激发态跃迁到基态,发射出中心波长为 ,谱线宽度 的光 子,试估算: (1)此光子的动量不确定度 ; (2)此光子的位置不确定度 ; (3)原子处在激发态的寿命 ; (4)该激发态的能量宽度 。 【解】(1)光子的动量 光子动量的不确定度 (2)由不确定关系 得光子位置的不确定度 (3)原子在激发态的寿命 (4)激发态的能量宽度 可由不确定关系 来估算得 【例 22-2】试用下列 3 种方法计算宽为 a 的无限深一维势阱中质量为 m 的粒子的最小能 量(零点能): (1)德布罗意波的驻波条件; (2)不确定关系式; (3)薛定谔方程。 【解】(1)要达到稳定状态,德布罗意波在势阱中应形成驻波,能量最小时驻波的波长为 2a,该势阱中粒子的动量 相应的能量 (2)由测不准关系
取粒子的动量p与动量的测不准量4P为同一数量级,即卫~△p E=p、4p2 得粒子的能量 (3)根据薛定谔方程求解 2m dx 即 0 28E=k2 令 +v=0 原方程可写成:众 方程的解为:w()=Acos(x+) 由边界条件 x=0 w(0)=0 得: X=a w(a)=0 得:Xa= 2=2m 由此得 4,又因为上面已令 为2 8-e222 得 3 最小时n1得 号【例2-3】氢原子处于2印态,当它在外磁场5中,考忠到锁道磁矩与外磁场的相互作 用,讨论该状态的能级分裂情况,并计算跃迁发出光子的频率。 【解】氢原子处在外磁场中,由于空间量子化,电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的 取向,电子轨道磁矩也有相应的不同取向,导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能,使 氢原子电子轨道磁矩 电子磁矩与外磁场相互作用能 2
取粒子的动量 p 与动量的测不准量 为同一数量级,即 得粒子的能量 (3)根据薛定谔方程求解 即 令 , 原方程可写成: 方程的解为: 由边界条件 得: 得: 由此得 ,又因为上面已令 因此 得 最小时 n=1 得 【例 22-3】氢原子处于 2p 态,当它在外磁场 中,考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作 用,讨论该状态的能级分裂情况,并计算跃迁发出光子的频率。 【解】氢原子处在外磁场中,由于空间量子化,电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的 取向,电子轨道磁矩也有相应的不同取向,导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能,使 氢原子电子轨道磁矩 电子磁矩与外磁场相互作用能
m的可能取值有2+1个,磁矩与外磁场相互作用能也出现2☒+1个可能值。 对应于氢原子2印态与外磁场的相互作用能有三个不同值,分别为=1:%=0,用=0, 2m。1s能级不变化,2印能级分裂为三个能级,相邻之间能级的能量差 8== 为 2m 原先由2印跃迁至1s的一条谱线分裂成为三条谱线,如图22-3所示。 其频率分别为: 原频 =V- eB 480 =+ eB 2p. 上-W v++ hv t→hv 个+hv 迈图223 夕【例22-4】一维无限深阱中有10个电子,电子质量为,势阱宽度为。若忽略电子间 的相互作用,应用量子物理的基本原理计算系统处于最低能量时,势阱中电子的最大能量。 【解】本题讨论一维无限深势阱中的电子排布。电子波在无限深势中传 播,由于两势阱壁的反射,形成稳定的驻波,类同与例22-2(1),可导 出在势阱中电子能量 2m8z2 3E 处于势阱中电子的状态是由电子的能态和电子的自旋态决定的。根据泡利半 不相容原理,每个能级上只能有自旋方向相反的两个电子,所以系统处于-?千专 最低能量时,势阱中10个电子由最低能级开始依次逐级充填,如图所=十E, 示。显然,势阱中最大能量电子的量子数n=5,得: 8识黑 趣图221
的可能取值有 个,磁矩与外磁场相互作用能也出现 个可能值。 对应于氢原子 2p 态与外磁场的相互作用能有三个不同值,分别为 ; , , , 。1s 能级不变化,2p 能级分裂为三个能级,相邻之间能级的能量差 为 。 原先由 2p 跃迁至 1s 的一条谱线分裂成为三条谱线,如图 22-3 所示。 其频率分别为: 原频 率 【例 22-4】一维无限深阱中有 10 个电子,电子质量为 m,势阱宽度为 。若忽略电子间 的相互作用,应用量子物理的基本原理计算系统处于最低能量时,势阱中电子的最大能量。 【解】本题讨论一维无限深势阱中的电子排布。电子波在无限深势中传 播,由于两势阱壁的反射,形成稳定的驻波,类同与例 22-2(1),可导 出在势阱中电子能量 处于势阱中电子的状态是由电子的能态和电子的自旋态决定的。根据泡利 不相容原理,每个能级上只能有自旋方向相反的两个电子,所以系统处于 最低能量时,势阱中 10 个电子由最低能级开始依次逐级充填,如图所 示。显然,势阱中最大能量电子的量子数 n=5,得: