dx f(r y)dy d f(coso, rsing) cs了 L f(rcosP, sinop)dp. arec自s 图8.19 3945dxf(√x2+y)d 解如图8.20所 若先对r积分,则当9 √3 从 变到时,对于 每一固定的q,从0变 到 2 若先对y积分,则 当r从0变到2 时,9从变到2;当 图 29
从2√2变到4时,对于每一固定的r,从acos变 到2于是, dx f(√x+y)dy=dq"orf(r) 4 rf(r) arccos f(r)dr 2(3 3946+.@|drf(x,y)dy 解如图8.21所示.若先 对r积分,则当q从0变到 x时,对于每一固定的g,r 从变到1,其中 COSP cos乎 cos为抛物线y=x2 的极坐标方程 若先对g积分,则当r 图8.21 从0变到1时对于每一固定的r,9从0变到 arcsin 2r 由r=S解出叫当r从1变到 √2时,对于每一固定的x,9从arco变到 arcsin √1+4r2-1 于是, E题号右上角带“+”号表示题解答案与原习题樂中译本所附答案不 致,以后不再说明中译本基本是按俄文第二版翻译的,俄文第二版中有一些错 误已在俄文第三版中改正 30
d y)ay dpl won f(rcosp, sinop)rdr ∫( rcos p, rsing)dp f(rcosp, rsin)do 3947.f(x,y)dxdy,其中?是由曲线(x2+y2)2=a2(x2 y2)(x≥0)所界的域 解令x= rose,y=rsin9则曲线(x2+y2)2=a2(x2 y2)(x≥0)的极坐标方程为r2=acos29,其图象是 双纽线的右半部分,如图8.22所示 若先对r积分则当从-变到7时,对于每一 固定的g,从0变到a√cos29 若先对φ积分则当r从0变到a时,对于每一固定 的r,9从-2 arccos变到 arccos 于是,f( y)dxdy e rar f(rcos, sino)dop ReCEsS 2 √ co 2y ∫( cosy, ring)rdr 假定r和φ为极坐标,在下列积分中变更积分的顺序:
arccos arccos 图8.22 39482,d?f(q,n)dr(x>0) 解积分域为由圆= aosp|y 2 或 2 所 围成的圆域 若先对g积分,则当r从 0变到a时,对于每一固定的 r,P从- arccos变到 arccos arccos (图8.23).于是, 图 8.23 」。f(q,r)d f(e, r)dp. L 3949d s 解积分域由双纽线r2=a2sin2y的右上部分围成(图 32
8.24) 若先对φ积分,则当r从 0变到a时,对于每一固定的 r,y从 arcsin 变到 arcsin 于是 de J(r)d 0 arcsin 图8.24 /(, r)dp. artsn 3950. dp f(s,r)dr 粘数 解积分域由曲线rg(阿 基米德螺线)与射线y=a围 成(图8.25) 改变积分顺序,即得 do f(o, r)d, 图8.25 drl f(p, r)do. 变换成极坐标,以-重积分来代替二重积分 395.‖f(√x2+y)lrd 解(√z+y)y= f(r)rdr 2rI r/(r)di 0 33