392(2+y)dady其中=1y≤zl 1≤1} 解域如图825所示。 先对g积分,则当r从0变 到1时,φ从 变到 r 4 当r从1变到√2时,对于 每一固定的r,q从 arccos 变到元,于是, x2+y2)dxdy 图8.26 2rf(r),d+4 d9 toto x rf(r)dr xr-4arccos rf(r)dr. 3953 ydrdy c 解 d ray f(tgp)ro x2,y2≤ (tgp)cos gdp 变换成极坐标以计算下列二重积分: 3954 drd 4
t yard 2e r 3955 in√x2+y2dxly ≤x“+y≤4r 解 sIn 十y2dxd p rsinrar =2x rsinrdr=-62 3956利用函数组 把矩形S{a<x<a+h,6<y<b+h}(a>0b 变换为域S'.求域S"的面积与S的面积之比 当h→0时,此比值的极限等于什么? 解正方形的角点A(a,b),B(a+h,b),c(a+h十 h),D(a,b+h)对应于OM平面上的点410,√a, B b,√(a h (a+h) C a f(6+ (a+h)(bt h) /(b+h)2.Ja(b+h.正方形的四边y=b,x=a h,y=b十h,x=a对应于Ou平面上的四条曲线, 即 35
A'B: u63 g B'c:u h)3氵 (b十h) DA 由这四条曲线围成的域即为S(图8.27) 于是,域S′的面积 图8.2 √ab+6)-4 dudu d /(a+h36+A](h+hdu √(a+n3 √a(h √(a+万(b+h 、dz √a+ 十h)2 5a 3〔√a(b+h)5-√a6 +(+b)(乙a+后-√a+b6千万 Ca- h)b 5(a十h)3 〔√(a+h)5(b+h) (a+h)5 36
6〔/(b+h) √a+h 从而,域S的面积与S的面积之比 s=5Y+b-√( ath 〔√(b+h 万(√a+h-√a) h2√a(a+h) √(6+A)5-√b a+b(√a+h+√a)√b+h+√b)(√b+h-√b 62+(b+)-(b+h)2+(+h)√b(b+A 5√a(a+h)(√a+h+√a)(√b+h+√b) 上述比式是h的函数,并且在h=0点连续于是, lim s=6. 56 b 事实上,应用洛比塔法则求此极限更简单些,这是因为 li √(b+h (b+h) h √b=lim li 十h Ii 十h) 于是 3I6 i S52 注意,若利用二重积分的变量代换,则计算S'较为简 单.容易算得n如=~3{y/氵 故 s'edudu= D(u,v) D(, y) drd
5 uth b+h)5-√b) 与上述结一致但是,从原习题集题目的安排来看,似乎 应从3966题以后才开始用般的变量代换来计算二重积 分 引入新的变量,v来代替x,y,并确定下列二重积分中 的积分限: 3957.dxf(x,y)dy(0<a<b;0<a<),若u=x, 解在变换u=x,v=2下,区域a={a≤x≤b, ax≤y≤Rx}变为具={a≤≤b,≤v≤A.变换 的雅哥比式 D(x,y)_10 I= D(u, v) v i 于是 dx /(r, y) udul f(u,uv)dv 3958.dxl f(x,y)dy,u=x+y,v=x 解在变换l=x+y,=x-y下,区域D={0≤x ≤2,1-x≤y≤2-x}变为A={1≤t≤2,-l≤v≤ 4-w}.事实上,+v=2x,-0=2y,故0≤u+≤4, 即-≤v≤4a.变换的雅哥比式I=-方,从而I 于是 38