解如图8.16所示,当y从a 变到3a时,对于每…固定的 y,x从ya变到y.于是, (ax+ y)drdy (x +yo)dr J-a (y-a) y 3 168a 图8.16 14a 3936. y'dxdy,设4是由横轴和摆线 x=a( t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2) 的第一拱所界的区域 2aa 解ydxy=」 3J。(1-cost)h sindt sin uau 2a“fr sin udu sin uat 25 sin&udu+ cos&udu 0 sinuate· 0 3·5·7丌 35 2·4·6·82 12 ￥)参看2282题的结果 24
)参看2281题的结果 在二重积分 f(r, y)drdy 中,假定x=rcos和y- usIng,变换为极坐标r和g并 配置积分的限,没 3937.x2+y2≤a 解雅哥比式l=,以下各题不再写出 g从0变到2x,7从0变到a.于是, f(T,y)dxdy= dp f(rcos, rsin)rdr 3938-圆x2+y2≤ax(a>0) 解圆x2+ x即 极坐 2 标方程为7=《03当9从一变到时,对于每固 定的g,r从0变到cosg于是, f(x, y)durdy (rcosprsinordi 3939.』-环a2≤x2+y2≤b2 解g从0变到2x,r从|al变到|b.于是 f(r, y)drdy 9 f(rcos, rsin)rdr 3940.-三角形0≤x≤1;0≤y≤1-x 解由于直线x+y=1的极坐标方程为 g ny
囚而当从0变到时,对于每一固定的g,从C变到 cs9+4).于是 13(,y)dxd (rcosp, rsin)rdr 39412-抛物线节≤x≤a 解如图8.17所示 区域可分为三部分: (1)当驴从0变到 4 时,对于每…固定 的y,r从0变到 asnφ 其中 8.17 r=“为抛物线y=a 的极坐标方程 (2)当从方变到”时,对于每一固定的q,r从0 变到 3)当9从变到π时,对于每一固定的q,r从0变 到 asin 于是 f(x, y)dxdy dpl"tf(rcosp, rsinp)rdr
do inf(rros, rsing)rdr PursIng. 3942.在怎样的情况下,当变换为极坐标之后,积分的限是常 数? 解若变换为极坐标,积分 f(x, y)dxdy= dpl f(rcosp, rsinp)rdr 其中a、只、a、b均为常数,则表明积分域为a≤r≤b a≤g≤R.它表示圆环面a≤r≤b被射线=a,9= R截出的部分,且只有积分域是这种情况,变换为极坐 标后积分的限才是常数如3937题及3939题即为其特 例. 在下列积分中,假定x=rcsp和y= rsing,变换为极坐 标r和y,并依两种不同的顺序配置积分的限: 3943. dx f(x,y)dy 解如图8.18所示 若先对r积分,则当P 从0变到时,对于每 一固定的9从0变到 P;当从n变到 时,对于每一固定的 g,r从0变到cscg 图8.18 27
若先对q积分,则当r从0变到1时,9从0变到2; 当r从1变到√2时,对于每一固定的r,从 arccos 变到 arcsin.于是, drl f(, y)dy 0 JEC i dpl f(rcosp, rsin)rdr 0 fcac +: dpl f(rcosp, rsin)rdr ar rdr2f(rcos,rsinp)dp+ d f(rcosp, sino)dp. 3944.|dxl f(r, y)d 解如图8.19所示若先对积分,则当q从0变到2 时,对于每一固定的从=csc9+4变到1 若先对积分,则当r从一变到1时,对于每一固定的 r,p 从 arccos 变到+ arccos 其中 √2 直线x+y=1的极坐标方程为sin(9+4 即 cos 或 g=士 arccos 于是, 28