第3章向量组的线性相关性 3.1n维向量
第3章 向量组的线性相关性 3.1 n 维向量
32向量组的线性相关性
3.2 向量组的线性相关性
32.1向量组的线性组合 ■定义3设有n维向量B,a12a2…,an若存 在一组数k1,k2,…,km使 B=k1a+k2a2+…+knn 或 k B=(a,a2…;an) 由向量组a1a2…am线性表示(表出), 则称β为向量组a,a2…an的线性组合,或称可B k1,k2…,k称为此线性组合的组合系数
3.2.1 向量组的线性组合 定义3 设有 维向量 ，若存 在一组数 ，使 或 则称 为向量组 的线性组合，或称可 由向量组 线性表示（表出）， 称为此线性组合的组合系数． n 1 2 , , , , m 1 2 , , , m k k k = + + + 1 1 2 2 m m k k k1 2 1 2 ( , , , ) m m k k k = 1 2 , , , m 1 2 , , , m 1 2 , , , m k k k
322向量组的线性相关与线性无关 n定义4设有n维向量组a1,a2…,an,若存在 组不全为零的数k,k2…,kn,使 k11+k2a2+…+knCn=0 ■则称向量组αx2a2…,∝m线性相关,否则称此向 量组线性无关 ■换言之,若ax2a2…,am线性无关, k1a1+k2a2+…+knCn=0 成立当且仅当 =k=0
3.2.2 向量组的线性相关与线性无关 定义4 设有 维向量组 ，若存在 一组不全为零的数 ，使 则称向量组 线性相关，否则称此向 量组线性无关． 换言之，若 线性无关， 成立当且仅当 n 1 2 , , , m 1 2 , , , m k k k 1 1 2 2 + + + = 0 m m k k k 1 2 , , , m 1 2 , , , m 1 1 2 2 + + + = 0 m m k k k 1 2 0 m k k k = = = =
由此定义可知: n(1)仅含一个零向量的向量组必线性相关 (2)仅含一个非零向量的向量组必线性无 关 ■(3)任何包含零向量在内的向量组必线性相 关
由此定义可知： （1）仅含一个零向量的向量组必线性相关． （2）仅含一个非零向量的向量组必线性无 关． （3）任何包含零向量在内的向量组必线性相 关．