即cQs2x+c(y2(作域|r!+|y≤10上:).这显然 是错误的由此可知,cqs+cos2y≤2.同理可让cos25 +cs2?>0.于是,(2)式成立,从而,得 102<<100即1:96<1<2 3915.求圆(x-a)2十(y-b)2≤R2上的点到原点的距离之 平方的平均 解平均值 (x2+y2)drd R 由于 丌R2 dxdy r2 t2-(r 6hr- )2d 3TR i K 「R2-( R 262x R R 2 ar( R 85R2_2(x 2 a)2)√R2-(x-a)2 tR 3R R + -arcsin R R TR 23R zR 14
同理,有 兀R2 dady R 」是 +b2+ 在问题3916-3922中对二重积分f(x,y)dxy内按 所指示的区域4依两个不同的烦序安置积分的」下限 3916.一以O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形 解为方便起见将二重积分f(x,y)ddy记以1 于是,I=dxf(x,y)dy=|dyf(x,y)dx 39179一以O(0,0),A(2,1),B(-2,1)为顶点的三角形 图8.1 解如图8.1所示 OA的方程为y OB的方程为y
AB的方程为y1 于是 dy f(r,y)dx fCr, y)d dxf(',yd dxi f(, y)dy 2 3918.4—以O(0,0),A(1,0), B(1,2),C(0,1)为顶点的 梯形 解如图8.2所示,BC的 方程为y-1=x 于是, 图8.2 dx (c, y)dy dyf(r,y)dx+idy f(r,y)dx. 3919一圆x2+y2≤1 解 f(E,y)d f(r, y)dx 3920.93-圆x2+y2≤y 解如图8.3所示积分域的围线x2+y2=y即为 2 y 2 于是
d, f(r, y)dy f(r,y)d: 39214-由曲线y=x2及y=1所包 围的抛物线的一节 解曲线y=x2及y=1的交 点为(1,-1),(1,1) 于是 图8.3 dxl, f(r,y)dy=d f(r, y)dx. 3922.a一圆环1≤x2+y2≤4 解如图8.4所示若先对y后对x积分,则 fCr, y)dy +|d ,y)ay +dr y 若先对x后对y积分,则 f(r, y)dx + d f(r, y)dr
十 fOr, vd /(r, y)d. 图8.4 3923证明迪里黑里公式 drl f(x, y)dy dyt f(r, y)dx(a>0) 证公式左端的遂次积分, 等于积分‖f(x,y)dxdy,其 中为三角形域OAB(图8 5):O(0,0),A(a,0),B(a, 图8.5 a).对于该积分,若化为先对x后对y的逐次积分,即为 公式的右端.于是本题获证 在下列积分中改变积分的顺序: 18