3906. dx(x+y)dy 解dx(x+y)dy= +old 3907.dx|,xy2d 解d y dx= 40 3908. dpi r'sinodr 0 0 解 SIn sin Adlp P_1 sin 2p 3909.设R为矩形 a≤x≤A,b≤y≤B 证明等式 X(x)Y(y)dxdy= X(x)dx y(y)dy. b 证根据在矩形域的情况下化二重积分为逐次积分的 计算方法,不妨先对y后对x积分,即得 X(r)Y(y)drdy=i dx X(x)Y(y)dy I X(r)dx y(y)dy. 3910.设: fCx,y)=f y 计算 dr f(r, y)dy
解不妨按先对y后对x积分的顺序计算,即得 LF,(r,B)-F,(r,,)d F(,B)A一F(x,b F(.B)- F(a B)-F(4.b)+ F(u,bi 3911.设∫(x)为在闭风间4≤x≤b内的连续数,明不等 式 f(x)dx≤(b-a)/(x)d 此处仅当/(x)=常数时等号成 证因为 0≤|dxf(x)-f(y)ad!y 2( f(r)dr +(6-a)/(y)dy, 故有 f(x)dx≤(b-a)f2(x)dr 当f(x)=常数时,显然上式中等号成立反之,设上式 中等号成立,则 dx〔f(x)-f(y)ay=0 由于函数F(x)=|f(x)-f()ay是a≤x≤b上 的非负连续函数,故F(x)≡0(a≤x≤b).特别F(a) =0,即((f(a)-f(y)dy=0.又出于函数 (y)=〔J(a)-f(y)
是a≤yb上的非负连续函数,故((y)=0(a≤y≤ b).因此,∫(y)≡∫(a)(a≤y≤b),即f(x)一常数 证毕 3912.下列积分有什么样的符号 n( r'+ y )drdy; Wi.r- ydrdy csin(r- y)dxdy 解(a)由于0<x2+y2≤(|x+|y1)2≤1及n(x +y2)≤ln1-0,且当|x+|y|<1时lhn(x2+y2)< ln(x2+y2)dxdy≤0. (t)我们有 i-x2-y2drdy=I, --I 其中 V1-x2-yidrdy ∨x2+y2-1dxd ldd 显然
2ay d、xdy=4x-2x=2x 故 dad 0. (B)我们有 arcsin(r + y)drdy arcsin(T+ y)dxd arcsin(r+ y)dxd 0s:r<: 0s]-r 上式右端第个积分由对称性知其值为零,第二个积分 因被积题数在积分域上为非负不恒为零的连续函数,因 而积分值是正的.于是,原积分是正的 3913求函数 fCx, y)=sin rainy 在正方形:0≤x≤丌,0≤y≤丌内的平均值 解平均值 sin rsin yard y sin"rdi sines 12
4 3914.利用中值定理,估计积分 drd 100 1 cosT t cos r+ls|≤ 之值 解由于积分域的面积为200,故由积分中值定理知 1 100 + cos 2, +cos n200 200 100+cos2+cs2? 其中(,?)为域|x」+|y|≤10中的某点 显然 0≤cos25+cos2≤2, 我们证明必有 0<cos2'5 cosn<2. (2) 由于函数cos2x+cos2y在有界闭域|x|+|y≤10上 的最大值为2,最小值为0.从而连续函数 100+ cos2x + cos 在有界闭域|x|+|y≤10上的 最小值为102最大值为100如果cs6+os?=2,则 由(1)式知 cosy 102 y 100+coS x1-1yl<"1 但∫(x,y) 100+ cos'x cos y 102 是非负连续 函数,从而必有f(x,y)≡0(在域|x|+|y|≤10上), 13