(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),故利用对称性知 dxdy 1⊥2 24+x2+ 26 29 + 32 37 44 42 49 0.196+0.371+0.343+0.312+0.177 0.329+0.302+0.154+0.285 2.470 Eev 即 9.880 √24+x2+ 下面计算积分的精确值: Tay 24x2+ 41n(y+√24+x+ 4ln(√25-x2+7)dx-2|ln(24+x2)d 0 由于 ln(24+x2)dx=dn(24+x2)-f 24 xln(24+x2)-2x+ 24 actg +C 从而 2|In(24+x2)dx =[2xln(24+x2)-4x+48 actg 24小}0
20ln7-20+8√6 arct 又 4In(25 7)d. D =4xln(√25-x2+7)。 dr 4 0(√25 +7)√25 dx 20ln7+ (√25-x2+7)25 再令x=5sint,有 x“x 2t+25 0(√25 7)√25-x 5cost+7 (5cost- 2dt 24 de o 5cost+-7 ?t一5nt) 24 arct tg 7丌 2 5-4√6 arct 24 从而 4|ln(25-x2+7)dx 2ln7+14x-20-16 6 actg 24 注意到 Zarctg g 24 √24 最后便得到
ray 24十 14x-424(2ctg-2+ arte/24 √/24 2r(7 24)÷13.19. 将精确值与近似值作比较,显见误差较大,其原因 在于有不少不是正方形的域都被忽略,因而产生较大的 绝对误差431及较大的相对误差3.19÷32.7 注意,求 d.icl y 的精确值若釆用 24+x2+ 极坐标则较为简单: drd 24 /24 2x(7 24) 但按原习题集的安排,似应在3937题以后才开始使用 极坐标故本题仍用直角坐标进行计算 3904.用直线x-常数,y=常数,x+y=常数把域S分为 四个相等的三角形,并取被积函数在每令三角形的中线 交点之值.近似地计算积分 t 3ds 其中S表由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的三 角形 解我们只须 1及x+y=2 分域S 即得四个相等的三角形,它们的面积均为女,重心为
2 66 及 63 于是,得北积 分的近似值为 t yds +÷+2 ] 63 0.577-0.816+2.0913)亠0.402, 其精确值为 +ydus ya) (1 )d 0.4 3905.把域S{x2+y2≤1}分为有限个直径小于δ的订求积的 子域ASi(=1,2,…,n).对于什么样的值δ能保证不 等式 sin(+y)dS->sin(x, +y, AS <0.l 成立?其中(x;,y)∈△S; 解记函数sin(x+y)在△S2中的振幅为c,则 sin(+ y)ds sin(x,+y;)△S Csin(a t y)- sin(x, y. )]ds Isin(x + y)sin(x, +y, )ds
ads AS 由于域S{x2+y≤l}的面积等于x,故只要 0.001 使能满足原不等式的要求。但因为 sup sin(x,+ y,) y,)」 4’,A ≤sup|(x;+y.)-(x;+y,) x…) ≤sup〔 1+」y-y|〕 ≤sup√2〔(x;-x,)2+( (」,y.)∈A5 √2 故只要取 δ<2丌 0.001÷0.00022 则有 sn(x+y)4S-∑sin(x,+y)△S.|<0.00 关)对于任意非负实数ab有 2ab≤a2+b或(a+b)2≤2(a2+b2), 从而 a+b≤√2(a2+b2). 计算积分: 8