2.(2016河北沧州七校联考如图所示,已知六棱锥 P-ABCDEF的底面是正 六边形,PA⊥平面ABC则下列结论不正确的是(D) (A)CD∥平面PAF (B)DF⊥平面PAF (C)CF∥平面PAB (DCF⊥平面PAD 解析:A中因为 CDULAEAFC面 PAECD面PAF 所以CD平面PAF成立; B中因为 ABCDER为正六边形所以DF⊥AF 又因为PA⊥平面 ABCDEF且平面 ABCDEFI平面PAF=AF 所以DF⊥平面PAF成立 C中 CEILAB.ABC平面 PAB, CFO平面PAB, 所以cF平面PAB成立. 而D中CF与AD不垂直故选D
2.(2016·河北沧州七校联考)如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正 六边形,PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( ) (A)CD∥平面PAF (B)DF⊥平面PAF (C)CF∥平面PAB (D)CF⊥平面PAD 解析:A中,因为CD∥AF,AF⊂面PAF,CD⊄面PAF, 所以CD∥平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DF⊥AF. 又因为PA⊥平面ABCDEF,且平面ABCDEF∩平面PAF=AF, 所以DF⊥平面PAF成立; C中,CF∥AB,AB⊂平面PAB,CF⊄平面PAB, 所以CF∥平面PAB成立. 而D中CF与AD不垂直,故选D. D
3.(2016·甘肃张掖模拟在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等侧棱垂直于 底面,点D是侧面BBCC的中心,则AD与平面BBCC所成角的大小是(C) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90° 解析:如图,取BC的中点E,连接AE,DE,可知AE⊥侧面BCC,∠ADE就 是AD与侧面BBCC所成的角.设各棱长为a,则在Rt△AED中,DE=a, √3 a,tan∠ADE=√3,所以∠ADE=60°.故选C
3.(2016·甘肃张掖模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于 底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90° C 解析: 如图,取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,可知 AE⊥侧面 BB1C1C,∠ADE 就 是 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 a,则在 Rt△AED 中,DE= 1 2 a, AE= 3 2 a,tan∠ADE= 3 ,所以∠ADE=60°.故选 C
4.(2016武昌调研)给出下列四个命题 ①如果平面a⊥平面β,那么平面a内一定存在直线平行于平面β ②如果平面a不垂直于平面β,那么平面a内一定不存在直线垂直于平 面β ③如果平面a⊥平面Y,平面β⊥平面Y,a∩β=1,那么1⊥平面y ④如果平面a⊥平面β,那么平面a内所有直线都垂直于平面B 其中错误的命题是.(写出所有错误命题的序号) 解析:借助正方体很容易判断出①②○是正确的只有④是错误的 答案:④
4.(2016·武昌调研)给出下列四个命题: ①如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β; ②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平 面β; ③如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ; ④如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 其中错误的命题是 .(写出所有错误命题的序号) 解析:借助正方体很容易判断出①②③是正确的,只有④是错误的. 答案:④
5.(2016·滨州邹平一中阶段)如图,二面角a-1-β的大小是60°,线 段ABCα,B∈1,AB与1所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦 值是 解析:过点A作平面B的垂线,垂足为C, 连接BC,在β内作CD⊥1,交1于点D,连接AD 因为1⊥CD,1⊥AC, ACcD=C,所以1⊥面ACD 所以1⊥AD故∠ADC为二面角a-1-B的平面角, 即∠ADC=60°,易知∠ABC为直线AB与平面β所成的角 设CD=a,则AD=2a,AC=√3a.又因为∠ABD=30°,所以AB=4a 所以sin∠C3 ab 4a 4 答案
5. (2016·滨州邹平一中阶段)如图,二面角α-l-β的大小是60° ,线 段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦 值是 . 解析:过点 A 作平面β的垂线,垂足为 C, 连接 BC,在β内作 CD⊥l,交 l 于点 D,连接 AD. 因为 l⊥CD,l⊥AC,AC∩CD=C,所以 l⊥面 ACD. 所以 l⊥AD.故∠ADC 为二面角α-l-β的平面角, 即∠ADC=60°,易知∠ABC 为直线 AB 与平面β所成的角. 设 CD=a,则 AD=2a,AC= 3 a.又因为∠ABD=30°,所以 AB=4a. 所以 sin∠ABC= AC AB = 3 4 a a = 3 4 . 答案: 3 4