第二章相位噪声分析 第二章 相位噪声分析 2.1回顾现有的模型 从1995年和1996年，许多人相继提出了许多新的相位噪声产生的物理机 制和分析方法。此处重点介绍以LC回路构成的振荡器的相位噪声分析模型。 文献[3]，[4]所提出的相位噪声模型即是所熟知的Leeson model,.它用线性 时不变的分析方法来分析LC振荡器。提出了如下的相位噪声特性： L{△o}=10log (2.1) 正如上一章所提到的。 下面通过应用线性时不变模型来计算1/2区域的噪声特性。 如图2.2，RLC回路的阻抗： Z(0+△0) G1+j22. (2.2) △0 其中G,是回路的并联寄生跨导。为维持振荡，有源器件向回路补充的平均能量 应等于回路消耗的能量。因此，有源器件可以用一个并联的负导纳-G("。)模拟。 对稳态振荡器，应满足方程：Gm(V)=G,。此时回路的阻抗为： Z(△0)=-j 100 (2.3) G,2Q△0 RLC回路的等效噪声电流密度为i,2/△f=4kTG,。另外，有源器件的噪声通 常对振荡器的相位噪声有很大的贡献，将所有的噪声源等效为一个用电阻形式表 示的有效噪声源i2/△f=4FkTG,,其中F是有源器件的额外噪声系数。至此， 我们可以得到在1/f2区域的相位噪声： 5
第二章 相位噪声分析 5 第二章 相位噪声分析 2.1 回顾现有的模型 从 1995 年和 1996 年，许多人相继提出了许多新的相位噪声产生的物理机 制和分析方法。此处重点介绍以ＬＣ回路构成的振荡器的相位噪声分析模型。 文献[3] ，[4]所提出的相位噪声模型即是所熟知的 Leeson model,它用线性 时不变的分析方法来分析 LC 振荡器。提出了如下的相位噪声特性： { } 3 2 2 0 1 10 log 1 1 2 f s L FkT L P Q ω ω ω ω ω ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ ⎪ ⎪ Δ = ⋅ ⋅+ ⋅+ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ Δ Δ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (2.1) 正如上一章所提到的。 下面通过应用线性时不变模型来计算 2 1/ f 区域的噪声特性。 如图 2.2，RLC 回路的阻抗： 0 0 1 1 ( ) L 1 2 L Z G j Q ω ω ω ω +Δ ≈ Δ + i (2.2) 其中GL 是回路的并联寄生跨导。为维持振荡，有源器件向回路补充的平均能量 应等于回路消耗的能量。因此，有源器件可以用一个并联的负导纳 0 ( ) −G V m 模拟。 对稳态振荡器，应满足方程： 0 ( ) GV G m L = 。此时回路的阻抗为： 1 0 ( ) 2 L L Z j G Q ω ω ω Δ =− Δ i (2.3) RLC 回路的等效噪声电流密度为 2 / 4 n L i f kTG Δ = 。另外，有源器件的噪声通 常对振荡器的相位噪声有很大的贡献，将所有的噪声源等效为一个用电阻形式表 示的有效噪声源 2 / 4 n L i f FkTG Δ = ，其中 F 是有源器件的额外噪声系数。至此， 我们可以得到在 2 1/ f 区域的相位噪声：
第二章相位噪声分析 Active Device L(AO) i(o)④C片L唇G G(Vo) +0 图2.1振荡器相位噪声的典型曲线 图2.2LC振荡器的等效电路模型 Z△o)P-i1Af L(A)=10-log(0)=10-log(2 sig 2 =10-logl P 2FKT (2.4) 2Q△01 上述方程中12系数是不考虑幅度噪声的贡献。 图2.3形象地展示了器件的白噪声是如何通过RLC回路转换为振荡器的相 位噪声的。 下面考虑该电路中的具体噪声源，分别是回路的并联电阻Rp,电感和电容 的串联电阻RL,Rc,以及有源器件G，如图2.4所示。 可以得到相位噪声： kTRI+A小-(@)2 L{△o}=10log[ 八△0] (2.5) 。12 其中，@=辰’R=R+R+ ，A=aF.’和Gn=R(oC)}。 R(@C) 此模型中给出了各个噪声源对相噪的贡献关系，但仍存在经验拟合参数 (a,F。,),与Leeson噪声模型相比，并没有本质上的提高
第二章 相位噪声分析 6 2 2 2 2 2 1 | ( )| / 2 { } 10 log( ) 10 log( ) 1 2 n noise sig o Z i f v L v V ω ω Δ Δ Δ= = i i i i i 2 0 2 10 log[ ( ) ] 2 s FKT P Q ω ω = Δ i i (2.4) 上述方程中 1/2 系数是不考虑幅度噪声的贡献。 图 2.3 形象地展示了器件的白噪声是如何通过 RLC 回路转换为振荡器的相 位噪声的。 下面考虑该电路中的具体噪声源，分别是回路的并联电阻 Rp，电感和电容 的串联电阻 Rl, Rc,以及有源器件Gm ，如图 2.4 所示。 可以得到相位噪声： 0 2 2 0 [1 ] ( ) { } 10 log[ ] / 2 eff kT R A L V ω ω ω + Δ Δ = i i i (2.5) 其中， 0 1 LC ω = ， ( )2 0 1 eff l c p R RR R C ω =++ ， Gm A =αF ，和 ( )2 GR C m eff = ⋅ ω0 。 此模型中给出了各个噪声源对相噪的贡献关系，但仍存在经验拟合参数 (α , Gm F )，与 Leeson 噪声模型相比，并没有本质上的提高。 L( ) Δω 3 1 f 2 1 f 2 10log s FkT P ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Δω 3 1 f Δω 图 2.1 振荡器相位噪声的典型曲线 图 2.2 LC 振荡器的等效电路模型 C L GL ( ) in i ω 0 ( ) −G V m Active Device
第二章相位噪声分析 21f↑ Z(⊙) 01f *△0 S(ot 图2.3振荡器相位噪声形成图 图2.4振荡器线性等效模型 Leeson模型和在其基础上改进的模型，在线性时不变系统假设的前提下， 揭示了加性噪声对相位噪声的影响，得出相位噪声随着频偏成-20dB斜率下降的 结论。这两个模型都没有解释器件低频噪声对振荡器相位噪声的影响，而且无法 解释单频噪声在载波两侧都会产生噪声的现象，并且存在经验拟合参数（α， F。,),对于仿真没有指导意义。因此该模型仍存在许多待要解决的问题。 2.2线性相位时变模型 任何振荡器都是一个周期变化的时变系统，因此噪声模型必须精确的考虑振 荡电路的时变特性。Hajimir噪声模型能够分析平稳噪声，甚至是周期平稳噪声。 该特点是之前的线性时不变模型无能为力的地方。 线性相位时变噪声模型还可以分析器件闪烁噪声上变频成为相位噪声的程 度与振荡波形对称性的关系。 2.2.1相位增量的脉冲响应 任何一个振荡器都可以看作是N个噪声源为输入，振荡幅度A(t)和相位() 为输出的系统。电流噪声源并联在电路的电压节点上，而电压噪声源串联在电路 的电流支路上。对于每一个噪声源，系统都可以看作是一个单输入-单输出系统， 因此振荡器的幅度A()和相位()的时间域响应可以由图2.5表示。 图26是一个理想的电感电容谐振回路。假设该系统在t时刻有一个并联的 电流脉冲i(代)，振荡器的幅度At)和相位(1)的变化将如图2.6()，(b)所示。振荡 器的瞬时电压变化△V为， △V △q (2.6) 个
第二章 相位噪声分析 7 Leeson 模型和在其基础上改进的模型，在线性时不变系统假设的前提下， 揭示了加性噪声对相位噪声的影响，得出相位噪声随着频偏成−20dB 斜率下降的 结论。这两个模型都没有解释器件低频噪声对振荡器相位噪声的影响，而且无法 解释单频噪声在载波两侧都会产生噪声的现象，并且存在经验拟合参数（α ， Gm F ），对于仿真没有指导意义。因此该模型仍存在许多待要解决的问题。 2.2 线性相位时变模型 任何振荡器都是一个周期变化的时变系统，因此噪声模型必须精确的考虑振 荡电路的时变特性。Hajimiri 噪声模型能够分析平稳噪声，甚至是周期平稳噪声。 该特点是之前的线性时不变模型无能为力的地方。 线性相位时变噪声模型还可以分析器件闪烁噪声上变频成为相位噪声的程 度与振荡波形对称性的关系。 2.2.1 相位增量的脉冲响应 任何一个振荡器都可以看作是 N 个噪声源为输入，振荡幅度 A t( ) 和相位φ( )t 为输出的系统。电流噪声源并联在电路的电压节点上，而电压噪声源串联在电路 的电流支路上。对于每一个噪声源，系统都可以看作是一个单输入-单输出系统， 因此振荡器的幅度 A t( ) 和相位φ( )t 的时间域响应可以由图 2.5 表示。 图 2.6 是一个理想的电感电容谐振回路。假设该系统在 t 时刻有一个并联的 电流脉冲 i(t)，振荡器的幅度 A( )t 和相位φ( )t 的变化将如图 2.6(a),(b)所示。振荡 器的瞬时电压变化ΔV 为， tot q V C Δ Δ = (2.6) ( ) v S ω Z( ) ω 2 / ni f Δ ω1/ f Δω Δω RP C L 2 n i Δf Gm 图 2.3 振荡器相位噪声形成图 图 2.4 振荡器线性等效模型
第二章相位噪声分析 (t) i(t) i(t) h,(t.r) 01 A(t) A(t) ha(t.) t 图2.5振幅和相位脉冲响应函数 (a)波峰处脉冲注入 (b)过零点处脉冲注入 图2.6电感电容谐振振荡器脉冲响应 其中△g为电流脉冲注入的电荷总量，Cm为节点处的总电容。很明显，电流脉冲 只会改变电容上的瞬时电压，而不会改变电感中的瞬时电流。从图26可以看出， 当电流脉冲加在电容电压的波峰的时候，将只会改变振荡器的幅度，而不改变振 荡的相位（如图2.6(）；当电流脉冲加在电容电压的过零点的时候，将只会改变 振荡器的相位，而不改变振荡的幅度（如图26(b):当电流脉冲加在其它任何时 8
第二章 相位噪声分析 8 τ h t φ ( ,τ ) h t A ( ,τ ) φ( )t A t( ) τ φ( )t τ A t( ) 图 2.5 振幅和相位脉冲响应函数 i(t) C L Vout Vout ΔV ΔV t t t t i(t) i(t) δ δ (a) 波峰处脉冲注入 （ｂ）过零点处脉冲注入 图 2.6 电感电容谐振振荡器脉冲响应 其中Δq 为电流脉冲注入的电荷总量，Ctot 为节点处的总电容。很明显，电流脉冲 只会改变电容上的瞬时电压，而不会改变电感中的瞬时电流。从图 2.6 可以看出， 当电流脉冲加在电容电压的波峰的时候，将只会改变振荡器的幅度，而不改变振 荡的相位(如图 2.6 (a))；当电流脉冲加在电容电压的过零点的时候，将只会改变 振荡器的相位，而不改变振荡的幅度(如图 2.6 (b))；当电流脉冲加在其它任何时
第二章相位噪声分析 刻，将会同时改变振荡器的幅度和相位。因此幅度A)和相位()对电流脉冲t) 的响应函数h,(化，t)和h,(6,)是时变函数。 从图2.5中可以看出，电流注入在相位输出中产生一个台阶，该台阶的高度 由式2.7定义： △V △p=T(0t) (g △q<9max (2.7) max 其中qm是节点处的最大电荷，qms=Cnk'x。「(x)定义为相位增量的脉冲敏感 函数(ISF,Impluse Sensitivity Function),它是一个无量纲变量，且与振荡器频率 和幅度无关，而与振荡波形密切相关。脉冲敏感函数描述了2π周期内，t-π时刻 单位脉冲造成振荡器相位增加的大小。 为了更好的理解ISF,我们来看一下对典型的LC振荡器，它的SF函数如 图2.7所示。在输出为过零点的时候，有ISF最大，此点是波形相位对干扰最敏 感的地方：在输出为峰值的时候，有SF为零，即波形在此点对干扰最不敏感。 对小电流注入而言，电流一相位的转换是线性的，可以通过Spce仿真验证。 因此，图2.5中的幅度和相位的脉冲响应可以完全用线性时变的单位脉冲响应描 述，即h(t,t),h(t,)。 式2.7表示注入△g的电荷产生△中的相位，故对单位注入电荷，可以得到： 6,x）=T@2-） (2.8) max 其中()是个单位阶跃函数。SF通过傅立叶展开可以表示为， ra）-G+2c.os(uar+e,) (2.9) 其中0，为n次谐波的初始相位，因为日不影响相位噪声的计算，我们在计算的时 候忽略它。 由于电流一相位转换的线性关系，我们可以通过叠加和积分的方法得到相位 增量(t) 0-f广cor-())ds (2.10) -客sem侧w
第二章 相位噪声分析 9 刻，将会同时改变振荡器的幅度和相位。因此幅度 A( )t 和相位φ( )t 对电流脉冲 i(t) 的响应函数 ( ) , A h t τ 和h t( ) , φ τ 是时变函数。 从图 2.5 中可以看出，电流注入在相位输出中产生一个台阶，该台阶的高度 由式 2.7 定义： 0 0 max max () () V q V q φ ωτ ωτ Δ Δ Δ =Γ =Γ max Δq q (2.7) 其中 max q 是节点处的最大电荷， max max node q CV = 。Γ( x) 定义为相位增量的脉冲敏感 函数(ISF, Impluse Sensitivity Function)，它是一个无量纲变量，且与振荡器频率 和幅度无关，而与振荡波形密切相关。脉冲敏感函数描述了2π 周期内，t −τ 时刻 单位脉冲造成振荡器相位增加的大小。 为了更好的理解 ISF，我们来看一下对典型的 LC 振荡器，它的 ISF 函数如 图 2.7 所示。在输出为过零点的时候，有 ISF 最大，此点是波形相位对干扰最敏 感的地方；在输出为峰值的时候，有 ISF 为零，即波形在此点对干扰最不敏感。 对小电流注入而言，电流—相位的转换是线性的，可以通过 Spice 仿真验证。 因此，图 2.5 中的幅度和相位的脉冲响应可以完全用线性时变的单位脉冲响应描 述，即h t(, ) φ τ ， (, ) A h t τ 。 式 2.7 表示注入Δq的电荷产生Δφ 的相位，故对单位注入电荷，可以得到： 0 max ( ) h t ut (, ) ( ) q φ ω τ τ τ Γ = − (2.8) 其中u t( )是个单位阶跃函数。ISF 通过傅立叶展开可以表示为， () ( ) 00 0 1 cos n n n ω τ ωτ θ CCn ∞ = Γ =+ + ∑ (2.9) 其中θ n 为 n 次谐波的初始相位，因为θ n 不影响相位噪声的计算，我们在计算的时 候忽略它。 由于电流—相位转换的线性关系，我们可以通过叠加和积分的方法得到相位 增量φ( )t () ( ) ( ) ( ) () 0 max 1 , t t ht i d i d q φ φ τ τ τ ωτ τ τ ∞ −∞ −∞ = ⋅ = Γ⋅ ∫ ∫ (2.10) 0 0 () () ( ) max 1 1 cos t t n n C id c i n d q τ τ τ ωτ τ ∞ −∞ −∞ = ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑