此时由对性有=4=.=0=0放化，)-20，它是一个n-l元二次 型由归纳假设定理得证（此化法称为配方法） 易知.二次型(1)的矩阵为对角矩阵 d0.0 0d2.0 00.dn 因此用矩阵的语言，定理1可叙述为 定理2数域P上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵 定义1二次型f八，X2,x)经过非退化线性替换化成的平方和称为它的一个标准形 问题二次型的标准形唯一吗？ 例1化二次型为标准形f八xxx)=2x书-6x,+2x书 解依次作三次非退化线性替换 名=乃+乃 =+ 52=, 5=乃-片， 乃=53 53=%2+2 =⅓， =3, 33=w 得 fxx)=2(0y+y-)-6-)y+20y-y=20y-⅓)2-2y-2y+8yy =2-2+8=25-2=2-2(52-2-)2+8Ξ-2 =2-2(32-23)}+6=22-2m+6w 总的线性替换为 x)110101100）113 x1-10010012%1-1-1% (x(001八001八001八%001八， 前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来下面按每一种情况写出相应的矩阵 1.4,≠0，此时的线性替换为 x=y-∑aavy x3=, x =y
此时由对称性有 21 31 1 0. n a a a = = = = ,故 1 2 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = = .它是一个 n−1 元二次 型.由归纳假设.定理得证(此化法称为配方法) 易知,二次型(1)的矩阵为对角矩阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n d d d 因此,用矩阵的语言,定理 1 可叙述为 定理 2 数域 P 上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 定义 1 二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x 经过非退化线性替换化成的平方和称为它的一个标准形. 问题 二次型的标准形唯一吗? 例 1 化二次型为标准形 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( ) 2 6 2 = − + 解 依次作三次非退化线性替换 1 1 2 2 1 2 3 3 , , x y y x y y x y = + = − = 1 1 3 2 2 3 3 , , y z z y z y z = + = = 2 1 3 2 3 3 3 , 2 z w z w w z w = = + = 得 222 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 2 3 f x x x y y y y y y y y y y y y y y y y ( ) 2( )( ) 6( ) 2( ) 2( ) 2 2 8 = + − − − + − = − − − + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 = − + − = − − + − 2 2 8 2 2 2( 2 ) 8 2 z z z z z z z z z z 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 = − − + = − + 2 2( 2 ) 6 2 2 6 . z z z z w w w 总的线性替换为 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x w w x w w x w w = − = − − 前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来.下面按每一种情况写出相应的矩阵. 1. 11 a 0 ,此时的线性替换为 1 1 1 11 1 , 2 2 2 , . n j j j n n x y a a y x y x y − = = − = =
(1-aiia-ana C= 01*.0 00.1 则和可写成分块矩阵 4-Ac-0 子是 cca2e002-64-0】 -64-a 矩阵A-aa'a是一个(n-1)×(n-1)对称阵，由归纳假设，有(n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 G(A-ana'a)G=D 为对角形令C=00）】 o G cscc-6864-a08-68 这是一个对角矩阵我们所要的可逆矩阵为C=CC, 2.4,=0,但有一个a≠0. 这时，只要把A的第一行与第1行互换，再把第一列与第1列互换，就归结为上面的情形，根据初等矩 阵与初等变换的关系，取C=P1,),则 CAC P(Li)AP(L1) 就是把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第1列互换的结果因此，CAC左上角的第一个元素 就是a,于是归结为第一种情形 3.an=0,i=12.,n,但有一个ay≠0，j≠1
令 1 1 11 12 11 1 1 1 0 1 0 0 0 1 n a a a a C − − − − = , 22 2 12 1 1 2 ( , , ), . n n n nn a a a a A a a = = 则和可写成分块矩阵 1 11 11 1 1 1 1 , . ' 0 n a a A C A E − − − = = 于是 ' 1 1 1 11 1 1 0 ' n C AC a E − − = − 11 1 ' a A 1 11 1 1 0 n a E − − − 11 1 1 11 0 ' a A a − = − 1 11 1 1 0 n a E − − − = 11 1 1 11 0 0 ' a A a − − 矩阵 1 1 11 A a ' − − 是一个 ( 1) ( 1) n n − − 对称阵,由归纳假设,有 ( 1) ( 1) n n − − 可逆矩阵 G 使 G' ( 1 1 11 A a ' − − ) G D= 为对角形.令 2 1 0 , 0 C G = 则 ' ' CC2 1 A CC1 2 1 0 0 ' G = 11 1 1 11 0 0 ' a A a − − 1 0 0 G 11 0 0 a D = , 这是一个对角矩阵.我们所要的可逆矩阵为 1 2 C C C = . 2. 11 a = 0 ,但有一个 0 ii a . 这时,只要把 A 的第一行与第 i 行互换,再把第一列与第 i 列互换,就归结为上面的情形,根据初等矩 阵与初等变换的关系,取 1 C P i = (1, ) ,则 ' 1 1 C AC P i AP i = (1, ) (1, ) 就是把 A 的第一行与第 i 行互换,再把第一列与第 i 列互换的结果.因此, ' C AC 1 1 左上角的第一个元素 就是 ii a ,于是归结为第一种情形. 3. 0, 1,2, , ii a i n = = ,但有一个 1 0, 1 j a j