抽象代数教案s1.6等价关系与集合的分类教学内容：1.理解关系、等价关系、类、分类的定义2.理解等价关系与集合分类的关系教学重点：等价关系与集合分类教学难点：无1、设M是一个集合，如果有一个法则R，它对M中任二元素α、b可以确定是或不是符合这个法则，则称此法则为M的元素间的一个关系。a与b符合这个法则时，记作aRb，否则记为aRb。例1：aRb<=>a+b是整数，是有理数集Q的关系。例2：aRb<=>a<b，是实数集R的关系。例3b R"b+d<1，不是正有理数集 Q*的关系。aca+c2、如果集合M有一个关系R满足以下条件I)对M中任意元素a，都有aRa(反身性)2若aRb，则bRa(对称性)3)若aRb，bRc，则aRc(传递性)则称这个关系R是M的一个等价关系。等价关系常用符号~表示，当a~b时，称a与b等价。由前面知，同构关系是一种等价关系。例4：aRb台b，是整数集Z的关系，但不是等价关系。例5：aRba=b(modn)，是整数集z的等价关系。3、若把集合M的全体元素分成若于个互不相交的子集（即它们的并是M，它们中任两个不同子集无共同元素），则称每个子集为M的一个类，类的全体叫做M的一个分类。例6：下面是集合M=1，2，3，10）的几种有分类：1) (1)、(2)、"(10),2)(1,2)、(3,4,5,6)、(7,8,9,10),3)(1,3,5,7,9)、(2,4,6,8,10)。-11 -
- 11 - 抽象代数 教案 §1.6 等价关系与集合的分类 教学内容： 1. 理解关系、等价关系、类、分类的定义 2. 理解等价关系与集合分类的关系 教学重点： 等价关系与集合分类 教学难点： 无 - 1、设 M 是一个集合，如果有一个法则 R，它对 M 中任二元素 a、b 可以确定是或不是符 合这个法则，则称此法则为 M 的元素间的一个关系。 a 与 b 符合这个法则时，记作 aRb，否则记为aRb 。 例 1：aRb<=>a+b 是整数，是有理数集 Q 的关系。 例 2：aRb<=>a<b，是实数集 R 的关系。 例 3： b R d b + d 1 ，不是正有理数集 Q +的关系。 a c a + c 2、如果集合 M 有一个关系 R 满足以下条件 1) 对 M 中任意元素 a，都有 aRa(反身性)， 2) 若 aRb，则 bRa(对称性) 3) 若 aRb，bRc，则 aRc(传递性) 则称这个关系 R 是 M 的一个等价关系。 等价关系常用符号~表示，当 a~b 时，称 a 与 b 等价。 由前面知，同构关系是一种等价关系。 例 4： aRb a b ，是整数集 Z 的关系，但不是等价关系。 例 5： aRb a b(mod n)，是整数集 Z 的等价关系。 3、若把集合 M 的全体元素分成若干个互不相交的子集(即它们的并是 M，它们中任两个 不同子集无共同元素)，则称每个子集为 M 的一个类，类的全体叫做 M 的一个分类。 例 6：下面是集合 M={1，2，3， 10}的几种有分类： 1) {1}、{2}、 {10}， 2) {1，2}、{3，4，5，6}、{7，8，9，10}， 3) {1，3，5，7，9}、{2，4，6，8，10}
抽象代数教案4、定理：集合M的一个分类决定M的一个等价关系。定理：集合M的一个等价关系决定M的一个分类。这两个定理说明，集合上的等价关系和分类相互确定，有一个就有另一个。例7：整数集Z的等价关系aRba=b(mod4)确定Z的四个类0-{., -8, -4, 0, 4,8, I=, -7, -3, 1, 5, 9, .]2=,-6, -2, 2,6,10, 3={, -5, -1, 3, 7,11, -)它们称为模4剩余类。- 12 -
- 12 - 抽象代数 教案 4、定理：集合 M 的一个分类决定 M 的一个等价关系。 定理：集合 M 的一个等价关系决定 M 的一个分类。 这两个定理说明，集合上的等价关系和分类相互确定，有一个就有另一个。 例 7：整数集 Z 的等价关系aRb a b(mod 4) 确定 Z 的四个类 0={ , −8, − 4, 0, 4,8, } 1={ , − 7, − 3, 1, 5, 9, } 2={ , − 6, − 2, 2,6,10, } 3={ , − 5, −1, 3, 7,11, } 它们称为模 4 剩余类
抽象代数教案第二章群s2.1群的定义及初步性质教学内容：1.理解群的定义，半群的定义，理解单位元、逆元的定义2.理解在群中单位元唯一，逆元唯一，消去律成立3.知道一些群的例子4.了解半群是群的条件教学重点：群的定义与性质教学难点：群性质的证明1、群的定义：如果非空集合G，有代数运算。，且满足1)结合律成立，即对任意的a,b,ceG，有(ab)c=a(bc)；2)G中有元素e，叫做G的左单位元，满足对任意的aEG，有e-a3）对任意的aeG，在G中有元素arl，叫做a的左逆元，满足αl=e则称G对这个代数运算作成一个群。如果对任意的a,bEG，有aob-boa，则称群G为交换(Abel)群，否则群G称为非交换群例1：全体非零有理数对数的普通乘法作成非零有理数乘群。全体正有理数对数的普通乘法作成正有理数乘群。整数集Z对数的普通乘法不作成群。数域F上全体n阶满秩方阵对矩阵的普通乘法作成群，称为n阶线性群，记为GLn(F)。例2：整数集Z关于运算αob=a+b+4是一个群，其中单位元为-4，α的逆元为-8-a。例3：正整数集Z关于运算αb=αb不是一个群。2k元例4:n次单位根群：全体 n次单位根组成的集合U。=(cos2k正+isink=1,2,*,n-1)nn关于数的普通乘法是群，含有n个元素。例5：四元数群：集合G={1,i,j,k,-1,-i,-j,-k)关于运算- 13 -
- 13 - 抽象代数 教案 第二章 群 §2.1 群的定义及初步性质 教学内容： 1. 理解群的定义，半群的定义，理解单位元、逆元的定义 2. 理解在群中单位元唯一，逆元唯一，消去律成立 3. 知道一些群的例子 4. 了解半群是群的条件 教学重点： 群的定义与性质 教学难点： 群性质的证明 - 1、群的定义：如果非空集合 G，有代数运算◦，且满足 1) 结合律成立，即对任意的a, b, cG，有(a◦b)◦c=a◦(b◦c)； 2) G 中有元素 e，叫做 G 的左单位元，满足对任意的a G ，有 e◦a=a； 3) 对任意的a G ，在 G 中有元素 a -1，叫做 a 的左逆元，满足 a -1 ◦a=e； 则称 G 对这个代数运算作成一个群。 如果对任意的a, b G ，有a◦b=b◦a，则称群 G 为交换(Abel)群，否则群G 称为非交换群。 例 1：全体非零有理数对数的普通乘法作成非零有理数乘群。 全体正有理数对数的普通乘法作成正有理数乘群。 整数集 Z 对数的普通乘法不作成群。 数域 F 上全体 n 阶满秩方阵对矩阵的普通乘法作成群，称为 n 阶线性群，记为 GLn(F)。 例 2：整数集 Z 关于运算 a◦b=a+b+4 是一个群，其中单位元为-4，a 的逆元为-8-a。 例 3：正整数集 Z +关于运算 a◦b=a b 不是一个群。 例 4：n 次单位根群 ：全体 n 次单位根组成的集合Un 关于数的普通乘法是群，含有 n 个元素。 = {cos 2k + isin 2k n n k = 1, 2, , n −1} 例 5：四元数群：集合 G={1, i, j, k, -1, -i, -j, -k}关于运算
抽象代数教案lijklijk-i-kjjk-li1kkj-i-1(-x)y=x(-y)=-xy, -(-x)=x, 其中 x, y e(1, i,j, k)是一个群。注意：1）群定义中包含4个条件：有运算、满足结合律、有左单位元、有左逆元。2群不仅有一个集合，还有一个这个集合上的代数运算，二者作为一个整体才可能是群。3群中的运算常称为“乘法”，在不引起混淆时，aob也可记为ab。4群中包含的元素可能有限，也可能无限，如果一个群包含有限多个元素。就称为有限群，否则称为无限群，前面例4、5中的群为有限群。5有限群G包含n个元素时，称n为群G的阶，并记为G=n，无限群的阶成为无限，被认为大于任意的正整数。群G的阶即为集合G的阶。2、群的性质定理1：群G的左单位元也是右单位元，并且是唯一的，称为G的单位元定理2：群G中元素a的左逆元α!也是a的右逆元，并且是唯一的，称为a的逆元。注意：1)α的逆元是a，即a与α互为逆元，又(ab)=bα。2）群定义中可以将左单位元改写成右单元，左逆元改成右逆元，其它条件不变，也可将左单位元改成单位元，左逆元改成逆元，其它条件不变3）在群中有消失律成立，即ab=ac=>b=c，ba=ca->b=c。3、半群定义：设S是一个非空集合，如果它有一个代数运算满足结合律，则称S是一个半群。如果半群S中有元素e，满足对任意的aeS，有ea=a，则称e为S的一个左单位元。如果半群S中有元素e，满足对任意的aES，有ae'=a，则称e'为S的一个右单位元。半群S中既是左单位元又是右单位元的元素，则称为S的单位元。若半群S有单位元，则称S为有单位元的半群，或幺半群。注意：1）群必是么半群，但么半群未必是群。2）在半群中，可能既无左单位元，又无右单位元；可能有左单位元，无右单位元；可能有右单位元，无左单位元；也可能既有左单位元，又有右单位元，此时二者相等，是半群唯一的单位元。- 14 -
- 14 - 抽象代数 教案 • 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 (-x)•y=x•(-y)=-x•y，-(-x)=x，其中 x, y {1, i, j, k} 是一个群。 注意：1) 群定义中包含 4 个条件：有运算、满足结合律、有左单位元、有左逆元。 2) 群不仅有一个集合，还有一个这个集合上的代数运算，二者作为一个整体才可能是群。 3) 群中的运算常称为“乘法”，在不引起混淆时，a◦b 也可记为 ab。 4) 群中包含的元素可能有限，也可能无限，如果一个群包含有限多个元素。就称为有限 群，否则称为无限群，前面例 4、5 中的群为有限群。 5) 有限群 G 包含 n 个元素时，称 n 为群 G 的阶，并记为 G =n ，无限群的阶成为无限， 被认为大于任意的正整数。群 G 的阶即为集合 G 的阶。 2、群的性质 定理 1：群 G 的左单位元也是右单位元，并且是唯一的，称为 G 的单位元。 定理 2：群 G 中元素 a 的左逆元 a -1 也是 a 的右逆元，并且是唯一的，称为 a 的逆元。 注意：1) a -1 的逆元是 a，即 a 与 a -1 互为逆元，又(ab) -1=b -1a -1。 2) 群定义中可以将左单位元改写成右单元，左逆元改成右逆元，其它条件不变，也可将 左单位元改成单位元，左逆元改成逆元，其它条件不变。 3) 在群中有消失律成立，即 ab=ac=>b=c，ba=ca=>b=c。 3、半群 定义：设 S 是一个非空集合，如果它有一个代数运算满足结合律，则称 S 是一个半群。 如果半群 S 中有元素 e，满足对任意的a S ，有 ea=a，则称 e 为 S 的一个左单位元。如 果半群 S 中有元素e ，满足对任意的a S ，有ae = a ，则称e 为 S 的一个右单位元。半 群 S 中既是左单位元又是右单位元的元素，则称为 S 的单位元。 若半群 S 有单位元，则称 S 为有单位元的半群，或幺半群。 注意：1) 群必是幺半群，但幺半群未必是群。 2) 在半群中，可能既无左单位元，又无右单位元；可能有左单位元，无右单位元；可能 有右单位元，无左单位元；也可能既有左单位元，又有右单位元，此时二者相等，是半群唯 一的单位元
抽象代数教案4、定理：设G是一个半群，则G作成群的充要条件是：对任意的a,beG，方程ax=b，ya=b在G中有解。注意：1）这是群定义的另一种形式。2）在群G中，方程ax=b，ya=b的解唯一。推论：有限半群G是群的充要条件是：在G中两个消失律成立。5、交换群G的代数运算，有时也称为加法，用“+"表示，G称为加群，单位元用0表示，称为零元，元素α的逆元用-a表示，称为α的负元。-15 -
- 15 - 抽象代数 教案 4、定理：设 G 是一个半群，则 G 作成群的充要条件是：对任意的a, b G ，方程 ax=b， ya=b 在 G 中有解。 注意：1) 这是群定义的另一种形式。 2) 在群 G 中，方程 ax=b，ya=b 的解唯一。 推论：有限半群 G 是群的充要条件是：在 G 中两个消失律成立。 5、交换群 G 的代数运算，有时也称为加法，用“+”表示，G 称为加群，单位元用0 表示， 称为零元，元素 a 的逆元用-a 表示，称为 a 的负元