抽象代数教案的乘积仍是双射变换，即变换的乘积也是S(M)的一个代数运算。，其中=(123)例6：对集合M=(1,2,3)，有S(M)=(g，9p,p，P，@，234561(123)_(1 2 3)(1 2 3)可以计算(1 23)(123)(123)22213222133313n1出0304=02，403=063、对有限集合的代数运算，常列成一个表，如对M={ai,a2，,an)上的代数运算aioaj=aij,有ala2analalla12aina2a21a22a2nan2ananlann这种表称为乘法表。例7：集合M={e,a,b,c)上有乘法表eabb1a
- 6 - 抽象代数 教案 的乘积仍是双射变换，即变换的乘积也是 S(M)的一个代数运算。 例 6：对集合 M={1, 2, 3}，有 S(M)={φ , φ , φ , φ , φ , φ }，其中 = 1 2 3 ， 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 = 1 2 3 ， = 1 2 3 ， = 1 2 3 ， = 1 2 3 ， = 1 2 3 。可以计算 2 1 3 2 3 2 1 3 4 2 3 1 5 3 1 2 6 3 2 1 出 φ3φ4=φ2，φ4φ3=φ6 。 3、对有限集合的代数运算，常列成一个表，如对 M={a1, a2, ., an}上的代数运算 ai◦aj=aij， 有 ◦ a1 a2 . an a1 a11 a12 . a1n a2 a21 a22 . a2n . . . . . an an1 an2 . ann 这种表称为乘法表。 例 7：集合 M={e, a, b, c}上有乘法表 • e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
抽象代数教案$1.4运算律教学内容：1.了解结合律、交换律、分配率的定义2.理解满足结合律、交换律、分配率的意义3.知道变换的乘法满足结合律教学重点：运算律的定义及意义教学难点：无1、设集合M有运算。，若对任意的a,b,ceM有a(boc)-(aob)oc则称运算。满足结合律。例1：数、多项式、矩阵、函数等对通常的加法和乘法都满足结合律。例2：正整数集上的运算αob=ab+1不满足结合律。例3：变换的乘法满足结合律。n个元素a,a2，…,an相乘时，可以有很多种加括号的方式，若运算满足结合律，可以证明无论怎样加括号结果都相等，通常这一相等的结果写成a1a2°..an。2、如果集合M的代数运算·满足对任意的a,beM有qob=ba则称运算。满足交换律。当集合M的运算。满足结合律和交换律时，M中任意n个元素相乘时可以任意结合，任意交换次序，结果不变。3、设集合M有两个代数运算。和，对任意的a,b,cEM，如果有a(b田c)=(aob)田(aoc)则称。对④满足左分配律，如果(b田c)oa=(boa)田(coa)则称。对④满足右分配律。当满足交换律时，上面两个分配律实际上为一个。设集合M有两个代数运算。和④，④满足结合律，而。对④满足左分配律，则任意的-7-
- 7 - 抽象代数 教案 §1.4 运算律 教学内容： 1. 了解结合律、交换律、分配率的定义 2. 理解满足结合律、交换律、分配率的意义 3. 知道变换的乘法满足结合律 教学重点： 运算律的定义及意义 教学难点： 无 - 1、设集合 M 有运算◦，若对任意的a, b, c M 有 a◦(b◦c)=(a◦b)◦c 则称运算◦满足结合律。 例 1：数、多项式、矩阵、函数等对通常的加法和乘法都满足结合律。 例 2：正整数集上的运算 a◦b=ab+1 不满足结合律。 例 3：变换的乘法满足结合律。 n 个元素 a1, a2, ., an 相乘时，可以有很多种加括号的方式，若运算满足结合律，可以证 明无论怎样加括号结果都相等，通常这一相等的结果写成 a1◦a2◦.◦an。 2、如果集合 M 的代数运算◦满足对任意的a, b M 有 a◦b=b◦a 则称运算◦满足交换律。 当集合 M 的运算◦满足结合律和交换律时，M 中任意 n 个元素相乘时可以任意结合，任 意交换次序，结果不变。 3、设集合 M 有两个代数运算◦和⊕，对任意的a, b, c M ，如果有 则称◦对⊕满足左分配律，如果 则称◦对⊕满足右分配律。 a◦(b⊕c)=(a◦b)⊕(a◦c) (b⊕c)◦a=(b◦a)⊕(c◦a) 当◦满足交换律时，上面两个分配律实际上为一个。 设集合 M 有两个代数运算◦和⊕，⊕满足结合律，而◦对⊕满足左分配律，则任意的
抽象代数教案a,b,b,"..b,eM有ao(bi甲b2 甲... 甲bn)(aobi1)甲(aob2)甲... 甲(aobn)即可以去括号。对右分配律有类似结论-8-
- 8 - 抽象代数 教案 a, b1 , b2 , bn M 有 a◦(b1⊕b2⊕.⊕bn)=( a◦b1)⊕(a◦b2)⊕.⊕(a◦bn) 即可以去括号。对右分配律有类似结论
抽象代数教案$1.5同态与同构教学内容：1.理解同态，同构的定义与性质2.知道同构意义下，同构的代数系统看做相同的教学重点：同态，同构的定义与性质教学难点：无1、设集合M与M各有代数运算。与，且是M到M的映射，如果保持运算，即对任意的a,beM，总有(ab)=a)(b)，则称为代数系统M到M的一个同态映射，若?又是满射，则β称为同态满射。如果M到M存在同态满射，则称M与M同态，记为MUIM。例1：令M是数域F上全体n阶方阵组成的集合，考虑矩阵普通乘法，令M为数域F运算为数的普通乘法，则βA-→|A是M到M的同态满射。2、定理：设集合M与M各有代数运算。与，且MIM，则当满足结合律时，也满足结合律；2当满足交换律时，也满足交换律。定理：设集合M有代数运算。与④，M有代数运算与④，是M到M的满射，且对。与及④与④同态，则当对④满足左(右)分配律时，对④也满足左(右)分配律。这两个定理说明两个代数系统同态时，前面的满足什么运算律，后面的也满足。3、设是M到M的一个(关于代数运算。与)同态满射，如果又是单射(即β是双射),则称是M到M的一个同构映射。如果集合M到M存在同构映射，就称M与M同构，记为M=M，否则称M写M不同构。M到自身的同态映射，称为M的自同态映射，同样，M到自身的同构映射，称为M的自同构映射。-9-
- 9 - 抽象代数 教案 M M §1.5 同态与同构 教学内容： 1. 理解同态，同构的定义与性质 2. 知道同构意义下，同构的代数系统看做相同的 教学重点： 同态，同构的定义与性质 教学难点： 无 - 1、设集合 M 与M 各有代数运算◦与 ，且 φ 是 M 到 M 的映射，如果 φ 保持运算，即对 任意的a, bM ，总有(a b) =(a) (b) ，则称 φ 为代数系统 M 到 M 的一个同态映射 ，若 φ 又是满射，则 φ 称为同态满射。如果M到 M 存在同态满射，则称 M 与 M 同态，记为 M 。 例 1：令 M 是数域 F 上全体 n 阶方阵组成的集合，考虑矩阵普通乘法，令 M 为数域 F， 运算为数的普通乘法，则：A → A 是 M 到M 的同态满射。 2、定理：设集合 M 与 M 各有代数运算◦与 ，且 M ，则 1) 当◦满足结合律时， 也满足结合律； 2) 当◦满足交换律时， 也满足交换律。 定理：设集合 M 有代数运算◦与⊕， M 有代数运算 与，φ 是 M 到 M 的满射，且对◦ 与 及⊕与同态，则当◦对⊕满足左(右)分配律时， 对也满足左(右)分配律。 这两个定理说明两个代数系统同态时，前面的满足什么运算律，后面的也满足。 3、设 φ 是 M 到 M 的一个(关于代数运算◦与 )同态满射，如果 φ 又是单射(即 φ 是双射)， 则称 φ 是 M 到 M 的一个同构映射。 如果集合 M 到 M 存在同构映射，就称 M 与 M 同构，记为M M ，否则称 M 与 M 不同 构。 M 到自身的同态映射，称为 M 的自同态映射，同样，M 到自身的同构映射，称为 M 的 自同构映射
抽象代数教案例2：设M是整数集，M是偶数集。对于数的普通加法，映射p:n-2n是M到M的一个同构映射。对于数的普通乘法，映射不是M到M的同构映射。例3：令M是正有理数集，对于数的普通乘法，映射p:a-!中a是M的一个自同构映射。对于数的普通加法，映射β不是M的自同构映射。4、关于同构有下列结论：1）对代数系统M，总有M=M(e)(0、)2)若M=M，则M,=M3)若M=M，M=M，则M=M(o、 T, To).后面会知道同构关系是一种等价关系。5、若M-a,b,c,）有运算。，M={a,b,c..有运算，M=M，且a-→a，b-b，c→，.，则aob=cab-c由此可知除去元素本身的性质，代数运算名称，所用符号不同外，从运算的性质看M与M并没有什么本质区别。也正因为如此，在这门课中常把同构的代数系统等同起来，甚至不加区分。- 10 -
- 10 - 抽象代数 教案 例 2：设 M 是整数集， M 是偶数集。对于数的普通加法，映射 φ: n→2n 是 M 到 M 的一个同构映射。对于数的普通乘法，映射 φ 不是 M 到 M 的同构映射。 例 3：令 M 是正有理数集，对于数的普通乘法，映射 : a → 1 a 是 M 的一个自同构映射。对于数的普通加法，映射 φ 不是 M 的自同构映射。 4、关于同构有下列结论： 1) 对代数系统 M，总有 M M (ε) 2) 若M1 M2 ，则M2 M1 (φ、φ -1 ) 3) 若 M1 M2 ， M2 M3 ，则M1 M3 (σ、τ，τσ) 后面会知道同构关系是一种等价关系。 5、若 M={a, b, c, .}有运算◦，M = a , b , c , 有运算 ， M M ，且a → a ，b → b ， c → c ，.，则 a 由此可知除去元素本身的性质，代数运算名称，所用符号不同外，从运算的性质看 M 与 M 并 没有什么本质区别。也正因为如此，在这门课中常把同构的代数系统等同起来，甚至不加区 分。 b = c a b = c