抽象代数教案$2.2群中元素的阶教学内容：1.理解元素幂的定义及性质2.理解群中元素阶的定义，会简单求元素的阶，了解根据元素的阶对群的分类3.掌握元素阶的性质教学重点：阶的定义和性质教学难点：阶的性质1、群中元素指数的定义：任取aeG，n是正整数，规定a'=e, a"=aa...a, a"=(a')"=a'al..a!易知，有下面规则a"a"=a+n, (a""=amn其中m、n是任意整数。2、阶的定义：设α为群G的一个元素，使α"=e的最小正整数n，叫做元素α的阶。如果这样的n不存在，则称α的阶为无限，aα的阶用a表示。易知单位元的阶为1，其他元素的阶都大于1。例1：在4次单位根群U4=(1,-1,,-)中，11+1-1H2,i+-i=4。例2：在正有理数乘群Q+中，单位元1的阶为1，其他元素的阶为无穷。例3：在非零有理数乘群0*中，单位元1的阶为1，-1的阶为2，其他元素的阶为无穷。3、定理：有限群中的每个元素的阶均有限。无限群中元素的阶可能有限，也可能无限，见前例，甚至可能每个元素的阶都有限（例4)。例4：群U-UU,中每个元素的阶都有限。定义：若群G中每个元素的阶都有限，则称G为周期群：若G中除单位元外，其余元素的阶均无限，则称G为无扭群；既不是周期群，又不无扭群的群称为混合群。可知，有限群为周期群，例4中U是无限周期群，正有理数乘群是无扭群，非零有理数乘群为混合群。4、元素阶的性质：- 16 -
- 16 - 抽象代数 教案 Ui §2.2 群中元素的阶 教学内容： 1. 理解元素幂的定义及性质 2. 理解群中元素阶的定义，会简单求元素的阶，了解根据元素的阶对群的分类 3. 掌握元素阶的性质 教学重点： 阶的定义和性质 教学难点： 阶的性质 - 1、群中元素指数的定义：任取a G ，n 是正整数，规定 a 0=e，a n=aa a，a -n=(a -1 ) n=a -1 a -1 a -1 易知，有下面规则 其中 m、n 是任意整数。 a ma n=a m+n，(a m ) n=a mn 2、阶的定义：设 a 为群 G 的一个元素，使 a n=e 的最小正整数 n，叫做元素 a 的阶。如 果这样的 n 不存在，则称 a 的阶为无限，a 的阶用 a 表示。 易知单位元的阶为 1，其他元素的阶都大于 1。 例 1：在 4 次单位根群 U4={1, -1, i, -i}中， 1 =1，-1 =2，i = −i = 4 。 例 2：在正有理数乘群 Q +中，单位元 1 的阶为 1，其他元素的阶为无穷。 例 3：在非零有理数乘群 Q *中，单位元 1 的阶为 1，-1 的阶为 2，其他元素的阶为无穷。 3、定理：有限群中的每个元素的阶均有限。 无限群中元素的阶可能有限，也可能无限，见前例，甚至可能每个元素的阶都有限(例4)。 例 4：群U = 中每个元素的阶都有限。 i=1 定义：若群 G 中每个元素的阶都有限，则称 G 为周期群；若 G 中除单位元外，其余元 素的阶均无限，则称 G 为无扭群；既不是周期群，又不无扭群的群称为混合群。 可知，有限群为周期群，例 4 中 U 是无限周期群，正有理数乘群是无扭群，非零有理数 乘群为混合群。 4、元素阶的性质：
抽象代数教案D设群G中元素α的阶为n，则a"=enn。2[a=nq"=e且若a"=e则m。 若[a=n， 为整数，则[-·(m)为 和 n的最大公因子。4若a=st，则at，其中s、1是正整数。）若a=n，则an(k,n)=1。g若a=m，=n，ab=ba,(m,n)=l,则|a = mn =ap]。注意：6）中的条件必须满足，否则不一定有结果ab=中！[o-1]在有理数域上的二阶线性群GL(Q)中，ab+ba[1 1]的阶无限。而它们乘积ab：[o1][1 2][011的阶均为无限，ad+dc，而它们乘积cd又C=-,的阶为2。10-2/00.5>┌』LL又在任意群中α与αl的阶相同，阶一般不互质，它们的乘积e的阶是1。5、交换群元素的阶定理：设G是交换群，且G中所有元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因数，从而对任意xeG的，有x=e。- 17 -
- 17 - 抽象代数 教案 0 1 1) 设群 G 中元素 a 的阶为 n，则a m = e n m 。 2) a = n a n=e 且若a m = e 则n m 。 3) 若 a = n，k 为整数，则 a k = n (k, n) ，(k, n)为 k 和 n 的最大公因子。 4) 若 a =st ，则 a s =t ，其中 s、t 是正整数。 5) 若 a = n ，则 a k = n (k, n)=1。 6) 若 a = m ， b = n ，ab=ba，(m, n)=1， 则 ab = mn = a b 。 注意：6) 中的条件必须满足，否则不一定有结果 ab = a b 。 在有理数域上的二阶线性群 GL (Q)中，a = 0 −1 ，b = 0 1 ，a = 4 ，b = 3 ，ab ba， 2 1 0 −1 −1 而它们乘积ab = 1 1 的阶无限。 又c = 1 2 、d = 1 0 的阶均为无限，cd dc，而它们乘积cd = 1 1 的阶为 2。 0 −2 0 0.5 0 −1 又在任意群中 a 与 a -1 的阶相同，阶一般不互质，它们的乘积 e 的阶是 1。 5、交换群元素的阶 定理：设 G 是交换群，且 G 中所有元素有最大阶 m，则 G 中每个元素的阶都是 m 的因 数，从而对任意 x G 的，有 x m=e
抽象代数教案S$2.3子群教学内容：1.理解子群、中心元、中心的定义2.理解子群与原群的关系3.掌握非空子集是子群的等价条件4.理解子群的交、并、积还是否为子群教学重点：子群的定义及判定教学难点：无1、子群的定义：设G是一个群，H是G的一个非空子集，如果H关于G的乘法也作成一个群，则称H为群G的一个子群。如果G>1，则G至少有两个子群，一个是(e)，一个是G本身，这两个子群称为群G的平凡子群，如果还有别的子群，叫做群G的非平凡子群，或真子群。H是G的子群时，记作H≤G，若H是G的真子群，记作H<G。例1：正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群，正实数乘群是非零实数乘群的子群。例2：全体偶数、全体3的整数倍、、全体n的整数倍作成的集合是(Z，+)的子群。例3：数域F上全体n阶满秩对角矩阵的集合Gi是GLn(F的子群，F上一切纯量矩阵aE(0≠aEF)的集合G2是G的子群。即G2≤Gi≤GLn(F)。定理：设H<G，则子群H的单位元就是群G的单位元，H中元素a在H中的逆元就是a在G中的逆元。2、子群的等价条件定理：群G的非空子集H作成子群的充要条件是：1)Va,beH=abeH,2)VaEH=a'EH。即H关于乘法和取逆封闭。定理：群G的非空子集H作成子群的充要条件是：Va,beH=abeH。定理：群G的非空子集H作成子群的充要条件是：Va,bEH=abEH。定理：群G的有限子群H作成子群的充要条件是：Va,beH=abeH.3、中心- 18 -
- 18 - 抽象代数 教案 §2.3 子 群 教学内容： 1. 理解子群、中心元、中心的定义 2. 理解子群与原群的关系 3. 掌握非空子集是子群的等价条件 4. 理解子群的交、并、积还是否为子群 教学重点： 子群的定义及判定 教学难点： 无 - 1、子群的定义：设 G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集，如果 H 关于 G 的乘法也作成 一个群，则称 H 为群 G 的一个子群。 如果 G 1 ，则 G 至少有两个子群，一个是{e}，一个是 G 本身，这两个子群称为群 G 的平凡子群，如果还有别的子群，叫做群 G 的非平凡子群，或真子群。 H 是 G 的子群时，记作 H≤G，若 H 是 G 的真子群，记作 H<G。 例 1：正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群，正实数乘群是非零实数乘群的子群。例 2：全体偶数、全体 3 的整数倍、.、全体 n 的整数倍作成的集合是(Z, +)的子群。例 3： 数域 F 上全体 n 阶满秩对角矩阵的集合 G1 是 GLn(F)的子群，F 上一切纯量矩阵 aE( 0 a F )的集合 G2 是 G1 的子群。即 G2≤G1≤GLn(F)。 定理：设 H≤G，则子群 H 的单位元就是群 G 的单位元，H 中元素 a 在 H 中的逆元就是 a 在 G 中的逆元。 2、子群的等价条件 定理：群 G 的非空子集 H 作成子群的充要条件是： 1) a H a -1 H 。即 H 关于乘法和取逆封闭。 a, b H ab H ， 2) 定理：群 G 的非空子集 H 作成子群的充要条件是： a, b H ab-1 H 。 定理：群 G 的非空子集 H 作成子群的充要条件是： a, b H a -1 b H 。 定理：群 G 的有限子群 H 作成子群的充要条件是： a, b H ab H 。 3、中心
抽象代数教案定义：群G的元素a，如果与G中每个元素都可交换，即VxEG，有xa=ax，则称a是群G的一个中心元素。群G的单位元e总是G的中心元，除e外，G可能还有其他中心元，如纯量矩阵aE是GLn(F)的中心元。若群G只有中心元e，则称G为无中心群。易知交换群的每个元素都是中心元。群G的所有中心元作成的集合C(G)，称为群G的中心。定理：C(G)<G。易知，C(G)是交换子群，G是交换群<=>C(G)=G。4、集合的乘法定义：设A、B是群G的任二非空子集，规定AB=(abaEA,bEB),A"=(aaEA)并称AB为A与B的乘积，A-I为A的逆。容易证明，对群的三个非空子集A、B、C有：结合律1) (AB)C=A(BC)2)A(BUC)=ABUAC分配律3) (AB)"=B-"A-I4) (A-")"=A推论：设H是群G的非空子集，则H≤GHH=H且H-=H。推论：设H是群G的非空子集，则H≤GHH-=HH"H=H。推论：设H是群G的非空有限子集，则H≤G-HH=H。5、子群的交、并、乘积：定理：设H≤G，K≤G，则HK≤GHK=KH。注意：1)HK=KH是H、K两个子群相乘时“集体"可交换。2）对交换群，上面定理中的条件显然成立。群G的任意个子群的交仍为子群（习题1；一般情况下，两个子群的并不是子群（习题7)。- 19 -
- 19 - 抽象代数 教案 定义：群 G 的元素 a，如果与 G 中每个元素都可交换，即x G ，有 xa=ax，则称 a 是 群 G 的一个中心元素。 群 G 的单位元 e 总是 G 的中心元，除 e 外，G 可能还有其他中心元，如纯量矩阵 aE 是 GLn(F)的中心元。若群 G 只有中心元 e，则称 G 为无中心群。 易知交换群的每个元素都是中心元。 群 G 的所有中心元作成的集合 C(G)，称为群 G 的中心。 定理：C(G)≤G。 易知，C(G)是交换子群，G 是交换群<=>C(G)=G。 4、集合的乘法 定义：设 A、B 是群 G 的任二非空子集，规定 AB = {ab a A, b B} ， A -1 = {a -1 a A} 并称 AB 为 A 与 B 的乘积，A -1 为 A 的逆。 容易证明，对群的三个非空子集 A、B、C 有： 1) (AB)C=A(BC) 结合律 2) A(B 分配律 3) (AB) -1=B -1A -1 4) (A -1 ) -1=A 推论：设 H 是群 G 的非空子集，则 H G HH = H且H −1 = H 。 推论：设 H 是群 G 的非空子集，则 H G HH −1 = H H -1H = H 。 推论：设 H 是群 G 的非空有限子集，则 H G HH = H 。 5、子群的交、并、乘积： 定理：设 H G ， K G ，则 HK G HK = KH 。 注意：1) HK=KH 是 H、K 两个子群相乘时“集体”可交换。 2) 对交换群，上面定理中的条件显然成立。 群 G 的任意个子群的交仍为子群(习题 1)；一般情况下，两个子群的并不是子群(习题 7)。 C) = AB AC