抽象代数教案$2.2群中元素的阶教学内容:1.理解元素幂的定义及性质2.理解群中元素阶的定义,会简单求元素的阶,了解根据元素的阶对群的分类3.掌握元素阶的性质教学重点:阶的定义和性质教学难点:阶的性质1、群中元素指数的定义:任取aeG,n是正整数,规定a'=e, a"=aa...a, a"=(a')"=a'al..a!易知,有下面规则a"a"=a+n, (a""=amn其中m、n是任意整数。2、阶的定义:设α为群G的一个元素,使α"=e的最小正整数n,叫做元素α的阶。如果这样的n不存在,则称α的阶为无限,aα的阶用a表示。易知单位元的阶为1,其他元素的阶都大于1。例1:在4次单位根群U4=(1,-1,,-)中,11+1-1H2,i+-i=4。例2:在正有理数乘群Q+中,单位元1的阶为1,其他元素的阶为无穷。例3:在非零有理数乘群0*中,单位元1的阶为1,-1的阶为2,其他元素的阶为无穷。3、定理:有限群中的每个元素的阶均有限。无限群中元素的阶可能有限,也可能无限,见前例,甚至可能每个元素的阶都有限(例4)。例4:群U-UU,中每个元素的阶都有限。定义:若群G中每个元素的阶都有限,则称G为周期群:若G中除单位元外,其余元素的阶均无限,则称G为无扭群;既不是周期群,又不无扭群的群称为混合群。可知,有限群为周期群,例4中U是无限周期群,正有理数乘群是无扭群,非零有理数乘群为混合群。4、元素阶的性质:- 16 -
- 16 - 抽象代数 教案 Ui §2.2 群中元素的阶 教学内容: 1. 理解元素幂的定义及性质 2. 理解群中元素阶的定义,会简单求元素的阶,了解根据元素的阶对群的分类 3. 掌握元素阶的性质 教学重点: 阶的定义和性质 教学难点: 阶的性质 - 1、群中元素指数的定义:任取a G ,n 是正整数,规定 a 0=e,a n=aa a,a -n=(a -1 ) n=a -1 a -1 a -1 易知,有下面规则 其中 m、n 是任意整数。 a ma n=a m+n,(a m ) n=a mn 2、阶的定义:设 a 为群 G 的一个元素,使 a n=e 的最小正整数 n,叫做元素 a 的阶。如 果这样的 n 不存在,则称 a 的阶为无限,a 的阶用 a 表示。 易知单位元的阶为 1,其他元素的阶都大于 1。 例 1:在 4 次单位根群 U4={1, -1, i, -i}中, 1 =1,-1 =2,i = −i = 4 。 例 2:在正有理数乘群 Q +中,单位元 1 的阶为 1,其他元素的阶为无穷。 例 3:在非零有理数乘群 Q *中,单位元 1 的阶为 1,-1 的阶为 2,其他元素的阶为无穷。 3、定理:有限群中的每个元素的阶均有限。 无限群中元素的阶可能有限,也可能无限,见前例,甚至可能每个元素的阶都有限(例4)。 例 4:群U = 中每个元素的阶都有限。 i=1 定义:若群 G 中每个元素的阶都有限,则称 G 为周期群;若 G 中除单位元外,其余元 素的阶均无限,则称 G 为无扭群;既不是周期群,又不无扭群的群称为混合群。 可知,有限群为周期群,例 4 中 U 是无限周期群,正有理数乘群是无扭群,非零有理数 乘群为混合群。 4、元素阶的性质:
抽象代数教案D设群G中元素α的阶为n,则a"=enn。2[a=nq"=e且若a"=e则m。 若[a=n, 为整数,则[-·(m)为 和 n的最大公因子。4若a=st,则at,其中s、1是正整数。)若a=n,则an(k,n)=1。g若a=m,=n,ab=ba,(m,n)=l,则|a = mn =ap]。注意:6)中的条件必须满足,否则不一定有结果ab=中![o-1]在有理数域上的二阶线性群GL(Q)中,ab+ba[1 1]的阶无限。而它们乘积ab:[o1][1 2][011的阶均为无限,ad+dc,而它们乘积cd又C=-,的阶为2。10-2/00.5>┌』LL又在任意群中α与αl的阶相同,阶一般不互质,它们的乘积e的阶是1。5、交换群元素的阶定理:设G是交换群,且G中所有元素有最大阶m,则G中每个元素的阶都是m的因数,从而对任意xeG的,有x=e。- 17 -
- 17 - 抽象代数 教案 0 1 1) 设群 G 中元素 a 的阶为 n,则a m = e n m 。 2) a = n a n=e 且若a m = e 则n m 。 3) 若 a = n,k 为整数,则 a k = n (k, n) ,(k, n)为 k 和 n 的最大公因子。 4) 若 a =st ,则 a s =t ,其中 s、t 是正整数。 5) 若 a = n ,则 a k = n (k, n)=1。 6) 若 a = m , b = n ,ab=ba,(m, n)=1, 则 ab = mn = a b 。 注意:6) 中的条件必须满足,否则不一定有结果 ab = a b 。 在有理数域上的二阶线性群 GL (Q)中,a = 0 −1 ,b = 0 1 ,a = 4 ,b = 3 ,ab ba, 2 1 0 −1 −1 而它们乘积ab = 1 1 的阶无限。 又c = 1 2 、d = 1 0 的阶均为无限,cd dc,而它们乘积cd = 1 1 的阶为 2。 0 −2 0 0.5 0 −1 又在任意群中 a 与 a -1 的阶相同,阶一般不互质,它们的乘积 e 的阶是 1。 5、交换群元素的阶 定理:设 G 是交换群,且 G 中所有元素有最大阶 m,则 G 中每个元素的阶都是 m 的因 数,从而对任意 x G 的,有 x m=e
抽象代数教案S$2.3子群教学内容:1.理解子群、中心元、中心的定义2.理解子群与原群的关系3.掌握非空子集是子群的等价条件4.理解子群的交、并、积还是否为子群教学重点:子群的定义及判定教学难点:无1、子群的定义:设G是一个群,H是G的一个非空子集,如果H关于G的乘法也作成一个群,则称H为群G的一个子群。如果G>1,则G至少有两个子群,一个是(e),一个是G本身,这两个子群称为群G的平凡子群,如果还有别的子群,叫做群G的非平凡子群,或真子群。H是G的子群时,记作H≤G,若H是G的真子群,记作H<G。例1:正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群,正实数乘群是非零实数乘群的子群。例2:全体偶数、全体3的整数倍、、全体n的整数倍作成的集合是(Z,+)的子群。例3:数域F上全体n阶满秩对角矩阵的集合Gi是GLn(F的子群,F上一切纯量矩阵aE(0≠aEF)的集合G2是G的子群。即G2≤Gi≤GLn(F)。定理:设H<G,则子群H的单位元就是群G的单位元,H中元素a在H中的逆元就是a在G中的逆元。2、子群的等价条件定理:群G的非空子集H作成子群的充要条件是:1)Va,beH=abeH,2)VaEH=a'EH。即H关于乘法和取逆封闭。定理:群G的非空子集H作成子群的充要条件是:Va,beH=abeH。定理:群G的非空子集H作成子群的充要条件是:Va,bEH=abEH。定理:群G的有限子群H作成子群的充要条件是:Va,beH=abeH.3、中心- 18 -
- 18 - 抽象代数 教案 §2.3 子 群 教学内容: 1. 理解子群、中心元、中心的定义 2. 理解子群与原群的关系 3. 掌握非空子集是子群的等价条件 4. 理解子群的交、并、积还是否为子群 教学重点: 子群的定义及判定 教学难点: 无 - 1、子群的定义:设 G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集,如果 H 关于 G 的乘法也作成 一个群,则称 H 为群 G 的一个子群。 如果 G 1 ,则 G 至少有两个子群,一个是{e},一个是 G 本身,这两个子群称为群 G 的平凡子群,如果还有别的子群,叫做群 G 的非平凡子群,或真子群。 H 是 G 的子群时,记作 H≤G,若 H 是 G 的真子群,记作 H<G。 例 1:正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群,正实数乘群是非零实数乘群的子群。例 2:全体偶数、全体 3 的整数倍、.、全体 n 的整数倍作成的集合是(Z, +)的子群。例 3: 数域 F 上全体 n 阶满秩对角矩阵的集合 G1 是 GLn(F)的子群,F 上一切纯量矩阵 aE( 0 a F )的集合 G2 是 G1 的子群。即 G2≤G1≤GLn(F)。 定理:设 H≤G,则子群 H 的单位元就是群 G 的单位元,H 中元素 a 在 H 中的逆元就是 a 在 G 中的逆元。 2、子群的等价条件 定理:群 G 的非空子集 H 作成子群的充要条件是: 1) a H a -1 H 。即 H 关于乘法和取逆封闭。 a, b H ab H , 2) 定理:群 G 的非空子集 H 作成子群的充要条件是: a, b H ab-1 H 。 定理:群 G 的非空子集 H 作成子群的充要条件是: a, b H a -1 b H 。 定理:群 G 的有限子群 H 作成子群的充要条件是: a, b H ab H 。 3、中心
抽象代数教案定义:群G的元素a,如果与G中每个元素都可交换,即VxEG,有xa=ax,则称a是群G的一个中心元素。群G的单位元e总是G的中心元,除e外,G可能还有其他中心元,如纯量矩阵aE是GLn(F)的中心元。若群G只有中心元e,则称G为无中心群。易知交换群的每个元素都是中心元。群G的所有中心元作成的集合C(G),称为群G的中心。定理:C(G)<G。易知,C(G)是交换子群,G是交换群<=>C(G)=G。4、集合的乘法定义:设A、B是群G的任二非空子集,规定AB=(abaEA,bEB),A"=(aaEA)并称AB为A与B的乘积,A-I为A的逆。容易证明,对群的三个非空子集A、B、C有:结合律1) (AB)C=A(BC)2)A(BUC)=ABUAC分配律3) (AB)"=B-"A-I4) (A-")"=A推论:设H是群G的非空子集,则H≤GHH=H且H-=H。推论:设H是群G的非空子集,则H≤GHH-=HH"H=H。推论:设H是群G的非空有限子集,则H≤G-HH=H。5、子群的交、并、乘积:定理:设H≤G,K≤G,则HK≤GHK=KH。注意:1)HK=KH是H、K两个子群相乘时“集体"可交换。2)对交换群,上面定理中的条件显然成立。群G的任意个子群的交仍为子群(习题1;一般情况下,两个子群的并不是子群(习题7)。- 19 -
- 19 - 抽象代数 教案 定义:群 G 的元素 a,如果与 G 中每个元素都可交换,即x G ,有 xa=ax,则称 a 是 群 G 的一个中心元素。 群 G 的单位元 e 总是 G 的中心元,除 e 外,G 可能还有其他中心元,如纯量矩阵 aE 是 GLn(F)的中心元。若群 G 只有中心元 e,则称 G 为无中心群。 易知交换群的每个元素都是中心元。 群 G 的所有中心元作成的集合 C(G),称为群 G 的中心。 定理:C(G)≤G。 易知,C(G)是交换子群,G 是交换群<=>C(G)=G。 4、集合的乘法 定义:设 A、B 是群 G 的任二非空子集,规定 AB = {ab a A, b B} , A -1 = {a -1 a A} 并称 AB 为 A 与 B 的乘积,A -1 为 A 的逆。 容易证明,对群的三个非空子集 A、B、C 有: 1) (AB)C=A(BC) 结合律 2) A(B 分配律 3) (AB) -1=B -1A -1 4) (A -1 ) -1=A 推论:设 H 是群 G 的非空子集,则 H G HH = H且H −1 = H 。 推论:设 H 是群 G 的非空子集,则 H G HH −1 = H H -1H = H 。 推论:设 H 是群 G 的非空有限子集,则 H G HH = H 。 5、子群的交、并、乘积: 定理:设 H G , K G ,则 HK G HK = KH 。 注意:1) HK=KH 是 H、K 两个子群相乘时“集体”可交换。 2) 对交换群,上面定理中的条件显然成立。 群 G 的任意个子群的交仍为子群(习题 1);一般情况下,两个子群的并不是子群(习题 7)。 C) = AB AC