《结构化学 Structural Chemistry》课程教学资源（PPT课件）第二章 原子结构 Atomic Structure

2.1.6单电子原子体系Schrodinger方程解的综合三个量子数n，和m具有如下的关系n=1,2,...1 = 0, 1, 2, ..., n-1m=0,±1,±2,..,±l每套量子数n，I和m决定一个波函数ym的形式，即决定了单电子原子体系的一种状态，简称为原子轨道（AO,AtomicOrbital)。R(r)只与r有关，为原子轨道的径向部分；球谐函数Y只与θ和Φ有关，为原子轨道的角度部分

三个量子数n, l和m具有如下的关系 n = 1, 2,. l = 0, 1, 2, ., n-1 m = 0, 1, 2, ., l 每套量子数n, l和m决定一个波函数nlm的形式，即决定了单电子原子体系 的一种状态，简称为原子轨道(AO,Atomic Orbital)。 Rnl (r)只与r有关，为原子轨道的径向部分；球谐函数Y只与 和 有关，为 原子轨道的角度部分 2.1.6 单电子原子体系Schrödinger方程解的综合

Dirac符号右失：nlm）=ynlm左失：<nlml=nlm(nlm|nl,m2)=Jymmymhm.dt(nlm[A|n2l,m2)= [ymhm Ay mhmdt

Dirac符号 右矢：|nlm=nlm 左矢：nlm|= * nlm 1 1 2 2 1 2 1 2 * 1 2 d n n l m ml n l l m n m =     1 2 1 2 1 1 2 2 * ˆ ˆ d n n l m ml n n l l m m A =    A 

nlm = Rn,(r) Ym(0,) = R,(r)Om(0)Φm(d)归一化条件：<m|m)=1@"(Φ)@m(Φ)dp= 1["0m(0)0m(0) sin0d0 =1Ym球谐函数<lm[lm) =1。T" Y"(0, )Ym(0,§) sinododp=1[ R(r)Rm(r)r’dr = 1dt =r sinedrdedd<nlm|nlm)=1。J"T。m(r,0,0)mm(r,0,0)r sinodrdedp =1

( ) ( , ) ( ) ( ) ( )        n n n l l l l l m m m m = = R r Y R r 归一化条件： 2 * 0 ( ) ( )d 1 m m       =  * 0 ( ) ( )sin d 1 lm lm        =  2 * 0 0 ( , ) ( , ) d d 1 sin Y Y lm lm          =   2 * 2 0 0 0 ( , , ) ( , , ) d d d 1 sin nlm nlm r r r r             =    2 d r   = r sin d d d * 2 0 ( ) ( ) d 1 R r R r r nl nl r  =  m|m =1 lm|lm =1 nlm|nlm =1 Ylm 球谐函数

例：将Y+组合为实函数V151imdΦ(d)sinOcosgV2元2V1515sincos(cos+isind)sincos28元2元V1515sincos(cos-isin)sinecos-1(0.028元2元1515 xzsin6COSO4元 r24元15[15 yzy(2)(0,d)sinecosOsind4元24元

例：将Y2,1组合为实函数 2, 1 15 sin cos 2     = 1 i ( ) e 2 m    = ( ) ( ) 2,1 2, 1 i i 15 1 15 ( , ) sin cos e sin cos cos sin 2 8 2 15 1 15 ( , ) sin cos e sin cos s i co sin i 2 8 2 Y Y                       − − + − = = = = ( ) ( ) (1) 2, 1 2,1 2, 1 2 (2) 2, 1 2,1 2, 1 2 1 15 15 ( , ) sin cos cos 2 4 4 1 15 15 ( , ) sin cos sin i 2 4 4 Y z Y Y r Y Y r yz Y x                −  − = + = = = − = =

复函数表示：具有确定的量子数n,1和m,直接用yalm表示，如：10020021021-1实函数表示：将球谐函数Y中角度部分换算为直角坐标，可得原子轨道角度部分所包含的直角坐标因子如：Yio[=l，为p轨道，Y1o中含z，对应p.轨道；Y20包含3z2-r2项，对应于dz等等11(211 +/21-1)(321 +32-1)W3d=V2px3dV2V21(y 321 -32-1)y2p21121-1Y3dyY3d212V21

复函数表示： 具有确定的量子数n, l 和 m, 直接用nlm 表示, 如：100  200  210  21-1 实函数表示： 将球谐函数Y中角度部分换算为直角坐标, 可得原子轨道角度部分所包含的直 角坐标因子 如： Y10 l=1，为p轨道，Y10中含z，对应pz轨道； Y20 包含 3z 2−r 2 项，对应于dz 2 等等 2 211 21 1 1 ( ) 2 x    p = + − 2 211 21 1 1 ( ) 2i y    p = − − 3 321 32 1 1 ( ) 2 xz    d = + − 3 321 32 1 i 1 ( ) 2 yz    d = − − 2 2 3 322 32 2 1 ( ) 2 x y    d − = + − 3 322 32 2 i 1 ( ) 2 xy    d = − −