《最优控制理论》ppt电子书（共六章）

有约束条件的函数极值问题 设二元函数f(x1,2),x1和x2必须满足下列方程:g(x1x2)=0 为求函数f(X1,X2)的极值,并找出其极值点(X1*,x*),作一辅助函 数一拉格朗日函数: L(x1,x2)=f(x12x2)+g(x12x2) 式中λ为辅助变量,称为拉格朗日乘子。 函数f(X,ⅹ2)求极值问题,转变为无约束条件函数求极值问题(拉格朗日 乘子法),其存在极值的必要条件为 aL af ag +2 ax, a 0 或 aL af +元 0 OL aL g(x1,x2)=0

二：有约束条件的函数极值问题 设二元函数f（x1 ,x2），x1和x2必须满足下列方程： g（x1 ,x2）＝0 为求函数f（x1 ,x2）的极值，并找出其极值点（x1 *,x2 *），作一辅助函 数－拉格朗日函数： ( , , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1 2 L x x  = f x x + g x x 式中λ为辅助变量，称为拉格朗日乘子。 函数f（x1 ,x2）求极值问题，转变为无约束条件函数求极值问题（拉格朗日 乘子法），其存在极值的必要条件为 0 2 1 =                       =    L x L x L x L 或 0 1 1 1 =   +   =   x g x f x L  0 2 2 2 =   +   =   x g x f x L  = ( 1 , 2 ) = 0   g x x L 

同样,用拉格朗日乘子法可以求有约束条件的n元函数的极值。 设n元函数为f(x1,X2,…xn),有m个约束方程 g(x1,x2,…xn)=0=1,2,…m(n<m) 作拉格朗日函数: L(x,x2,…xn,1,2…m)=f(x1x2…x)+∑A8,(x1,x2…x) 函数L有极值的必要条件为: aL af +∑ OL x.)=0 aL of OL +∑4=0 g 2(4142 aL aL af +∑λ 02=8m(x、"=0

同样，用拉格朗日乘子法可以求有约束条件的n元函数的极值。 设n元函数为f（x1，x2，·····xn），有m个约束方程 gi (x1 , x2 , xn ) = 0 i＝1，2，···m（n<m） ( , , , , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 i n m i n m n i L x x x  f x x x  g x x x =    = +  作拉格朗日函数： 函数L有极值的必要条件为： 0 1 1 1 1 =   +   =   = x g x f x L i m i i 0 2 2 1 2 =   +   =   = x g x f x L i m i i ( , , ) 0 1 1 2 1 = =   n g x x x L   ( , , ) 0 2 1 2 2 = =   n g x x x L   ( , , ) 0 = 1 2 =   m n m g x x x L   0  1 =   +   =   = n i m i i n n x g x f x L  

2-2泛函极值问题 无条件约束的泛函极值问题 设函数x(t)在[,日区间上连续可导 定义下列形式的积分 J= F[x(o), i(t), t]dt J的值取决于函数x(t),称为泛函

2-2泛函极值问题 一.无条件约束的泛函极值问题 设函数x（t）在 [t0 ,tf ] 区间上连续可导 定义下列形式的积分 J F x t x t t dt f t t [ ( ), ( ), ] 0  =  J的值取决于函数x（t），称为泛函

1:始端时刻t和终端时刻t都给定时的泛函极值 设J=[Fx(),x(.1t 函数x*(t)使J为极小 令:x(1)=x(t)+Ent) 式中E是一个很小的参数,n(t)是一个连续可导的任意函数 (x)=Fx()+E7)x()+EmO) 其取极小值的必要条件为:a/(x) a8 8=0 0 上式为J(x)取极小值的必要条件 a(x) J(x)取极小值的充分条件 2|E=0 >0 J(∞x)为极大、极小,通常可根据系统的物理性质来判断

1：始端时刻t0和终端时刻t f都给定时的泛函极值 设 J F x t x t t dt f t t [ ( ), ( ), ] 0  =  函数x*(t)使J为极小 令： ( ) ( ) ( ) * x t = x t +  t 式中ε是一个很小的参数，η（t）是一个连续可导的任意函数 J x F x t t x t t t dt f t t ( ) [ ( ) ( ), ( ) ( ), ] 0 * *  = +    +  其取极小值的必要条件为： 0 0 ( ) = =     J x 上式为J(x)取极小值的必要条件 J(x)为极大、极小，通常可根据系统的物理性质来判断。 0 0 ( ) 2 2 =      J x J(x)取极小值的充分条件

由必要条件 a(x) 0 as e=0 Ima op aF +1(1)-.]dt OF aF -dt dn(t) ax af. d aF OF Ox d. dt+n = n dt 0 J(∞x)取极值的必要条件为 欧拉方程MF_d ar di&=o 横截条件7(t aF 0

( ) 0 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 0 0 0 0 0 =   +   −   ==   +   =   +   =      =  f f f f f t t t t t t t t t t x F dt x F dt d dt x F d t x F dt x F dt x F t x F t J x              J(x)取极值的必要条件为： − = 0     x F dt d x F  ( ) 0 0 =   f t t x F t   欧拉方程 横截条件 0 0 ( ) = =     J x 由必要条件