《最优控制理论》ppt电子书（共六章）

不同函数F的欧拉方程为: aF F[x(t),4 0 02F i=0 0F02F FLx(),t] x at Flx(,x(tI a-F.aF aF 元 aiat Or=o F[x(t)2x(), aa aB 0 =a(x,1)+B(x,1)x

不同函数F的欧拉方程为： F[x(t),t] = 0   x F F[x (t)] 0 2 2 =   x x F   F[x (t),t] 0 2 2 2 =    +   x t F x x F    F[x(t), x (t)] 0 2 2 2 =   −    +   x F x t F x x F    x t x t x F x t x t t   ( , ) ( , ) [ ( ), ( ), ] = +  = 0   −   x t  

OF′ 由横截条件7( 当t和t给定时,根据x(to),X(t是固定的或自由的各种组合,可导出边界条件 (1)固定始端和固定终端 X()=x0,X(t)=X 7(1 X1(t) 故边界条件为: x(to)=Xo, x(t=X to

当t0和tf给定时，根据x(t0 ),x(tf )是固定的或自由的各种组合，可导出边界条件 （1）固定始端和固定终端 ( ) 0 0 = f t t  t x(t0 )=x0 , x(tf )=xf 故边界条件为： x(t0 )=x0 , x(tf )=xf X(t) X1(t) X2(t) X3(t) t0 tf t ( ) 0 0 =   f t t x F t  由横截条件 

(2)自由始端和自由终端 aE,=0 0 ax t (3)自由始端和固定终端 OF 0 x(t=X

(2)自由始端和自由终端 0 0 =   x t F  = 0   f x t F  X(t) t0 tf t （3）自由始端和固定终端 0 0 =   x t F  x(tf )=xf X(t) t0 tf t

(4)固定始端和自由终端 x(b)x0F,=0 极小值的充分条件: a/(x) e2/=0>0 F a-F a2F +2177+n122]t>0 axa dt>0 OXox a-F a-F 故J(×)取极小值的充分条件: a-F aF 为正定 axa

（4）固定始端和自由终端 x(t0 )=x0 = 0   f x t F  X(t) t0 tf t 极小值的充分条件： 0 0 ( ) 2 2 =      J x [ 2 ] 0 2 2 2 2 2 2 2 0    +    +    dt x F x x F x t f F t       [ ] 0 2 2 2 2 2 2 0                           dt x F x x F x x F x F t t f          故J(x)取极小值的充分条件：                   2 2 2 2 2 2 x F x x F x x F x F    为正定

例1设性能指标为:J=(+x)边界条件为:x1)=1×22 求J为极值时的x*(t) 解F(x,x,D)=x+xt 由欧拉方程F_d亚E=0 (1+2it2)=0 +c 根据边界条件,X(1)=1,x(2)=2 x(t) +3 a2F aF 00 ax2 axa aF aF 022正半定,J(x)为极小值 axa

例1 设性能指标为： J (x x t )dt 2 1 2 2  =  +  边界条件为：x(1)=1,x(2)=2, 求J为极值时的x*(t) 解 2 2 F(x, x  ,t) = x  + x  t 由欧拉方程 − = 0     x F dt d x F  (1 2 ) 0 2 + xt = dt d  2 * 1 ( ) C t C x t = + 根据边界条件，x(1)=1,x(2)=2 3 2 ( ) * = − + t x t       =                   2 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t x F x x F x x F x F    正半定，J(x)为极小值