对于一般情况,可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域 用格林公式相加,由于沿辅助线积分是相互抵消,即可得证 几何应用,在格林公式中,取P=-Q=x,2b- ∴A= d v- vdu 说明:(1)格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 图10-3-3 2)i记法x:动 (3)在一定条件下用二重积分计算曲线积分,在另外条件下用曲线积分计算二 重积分 (4)几何应用。 例1计算(y-x)d+(3x+y)dhy L:(x-1)2+(y-4)2=9 aP 解原式=什(3-1)dy=18 O 例2计算星形线 x=a co 围成图形面积(0≤t≤2x) =asin t 解A=15动-=1C(o310+m3130o3m)=x 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 1.曲线积分与路径无关:是G为一开区域,P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数, 若G内 意指定两点A,B及G内从A到B的任意两条曲线L1,L2 「Pak+h=JPar+ghy 恒成立,则称「P+Q在G内与路径无关。否则与路径有关。 例1「(x+y)+(x-y)L1:从(1)】到(2,)的折线:L2:从)到(23)的 直线 解「Pa+g=(2-y)+(1+x53 L2:y=3+2(x-2),即y=2x-1 1,1) (x+y)dx+(x-y)y=[(x+2x-1)+2(1-x)]dx= 图10-3-4 2
对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在 1 2 3 4 D , D , D , D 上应 用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。 几何应用： 在格林公式中，取 P = −y,Q = x ， D 2 dxdy= − L xdy ydx ∴ 2 1 A = − L xdy ydx 说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 图 10-3-3 （2）记法 − L xdy ydx = − D dxdy x y （3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二 重积分。 （4）几何应用。 例 1 计算 − + + C (y x)dx (3x y)dy L ：( 1) ( 4) 9 2 2 x − + y − = 解 原式= − = D (3 1)dxdy 18 ， = 3 x Q ， = 1 y P 例 2 计算星形线 = = y a t x a t 3 3 sin cos 围成图形面积 (0 t 2 ) 解 = − = + 2 0 3 2 2 2 ( cos 3 sin cos sin 3 cos sin ) 2 1 2 1 A xdy ydx a t a t t a t a t t dt L = 8 3 2 a 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 1． 曲线积分与路径无关：是 G 为一开区域， P(x, y),Q(x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数， 若 G 内 任意指定两点 A, B 及 G 内从 A 到 B 的任意两条曲线 1 2 L ,L + = + L1 L2 Pdx Qdy Pdx Qdy 恒成立，则称 + L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关。否则与路径有关。 例 1 + + − L (x y)dx (x y)dy L1 ：从 (1,1) 到 (2,3) 的折线 ； L2 ：从 (1,1) 到 (2,3) 的 直线 解 + L1 Pdx Qdy = 2 5 (2 ) (1 ) 2 1 3 1 − + + = y dy x dx 3 L2 ： y = 3 + 2(x − 2),即 y = 2x −1 + + − 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy = 2 5 [( 2 1) 2(1 )] 2 1 + − + − = x x x dx 图 10-3-4 o y x (2,3) (1,1) L2 L1
定理2设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数,则以下四个条 件相互等价 (1)内任一闭曲线C,Pa+Q=0。 (2)对内任一曲线L,Pax+Ohy与路径无关 3)在D内存在某一函数(x,y)使d(x,y)=Pdx+gh在D内成立。 (4)22-2,在D内处处成立 证明(1)→(2)在D内任取两点AB,及连接A,B的任意两条曲线AEB,AGB ∴C=AGB+BGA为D内一闭曲线 1)知5P+hy 即Pd+h+Pa+Q=0 Pax+Ody=e Pdx+Ody 10-3-5 2)→(3)若P+Qh在D内与路径无关。当起点固定在(x0,y)点,终点 为(xy)后,则门P+Qb是xy的函数,记为vx,y)。 下证0(x,y)=Px+gh的全微分为d(xy)=Pa+gh。 ∵P(xy),Q(x,y)连续,只需证=P(x,y) O(,y) N(X+Ax, y) 由定义 ar lim u(r+Ax)-u(r, y) (x,y) l(x+△x,y)= Pdx+Ody=u(x, y) Pdx+Ody 图10-3-6 Pdx l(x+△x,y)-u(x,y) Pax=P△x,P=P(x+Ax,y)(0≤≤1)
定理 2 设 P(x, y) ，Q(x, y) 在单连通区域 D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条 件相互等价 （1）内任一闭曲线 C ， + C Pdx Qdy = 0 。 （2）对内任一曲线 L ， + L Pdx Qdy 与路径无关 （3）在 D 内存在某一函数 (x, y) 使 d(x, y) = Pdx + Qdy 在 D 内成立。 （4） x Q y P − ，在 D 内处处成立。 证明 （1） （2） 在 D 内任取两点 A, B ，及连接 A, B 的任意两条曲线 AEB ， AGB ∴ C = AGB+ BGA 为 D 内一闭曲线 由（1）知 + C Pdx Qdy ， 即 + AGB Pdx Qdy + + BEA Pdx Qdy = 0 ∴ + AGB Pdx Qdy = + BEA Pdx Qdy 图 10-3-5 （2） （3）若 + L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关。当起点固定在（ 0 0 x , y ）点，终点 为 (x, y) 后，则 + ( , ) ( , ) 0 0 x y x y Pdx Qdy 是 x, y 的函数，记为 u(x, y) 。 下证 u(x, y) = + ( , ) ( , ) 0 0 x y x y Pdx Qdy 的全微分为 du(x, y) = Pdx + Qdy 。 ∵ P(x, y) ，Q(x, y) 连续，只需证 P(x, y) x u = ， Q(x, y) y u = ， 由定义 = x u 0 ( ) ( , ) lim x u x x u x y → x + − u(x + x, y) = + + ( , ) ( , ) 0 0 x x y x y Pdx Qdy = u(x, y) + + + ( , ) ( , ) x x y x y Pdx Qdy 图 10-3-6 = u(x, y) + x+x x Pdx ∴ u(x + x, y) − u(x, y) = x+x x Pdx = Px， P = P(x +x, y) (0 1) o y x E B A G x ( , ) 0 0 0 M x y o y x M(x,y) N(x+ ,y)