第3章集合 具有有限个元素的集合叫有限集,否则叫无限集。有 狠集元素的个数称为该集合的基数,也叫集合的势。有限 集A的基数记为 例如:设A=ab,c,A是有限集,A的基数A=3 无限集也有基数的概念。无限集的基数比有限集的基 数要复杂的多,本书将在53节中介绍 扩展的自然数集N=0,1,2,3,…}是无限集。整数集合Ⅰ、 有理数集合Q、实数集合R和复数集合C都是常见的无限集
第3章 集合 具有有限个元素的集合叫有限集，否则叫无限集。有 限集元素的个数称为该集合的基数，也叫集合的势。有限 集A的基数记为|A|。 例如：设 A=a,b,c，A 是有限集，A的基数|A|=3。 无限集也有基数的概念。无限集的基数比有限集的基 数要复杂的多，本书将在5.3节中介绍。 扩展的自然数集N=0,1,2,3, …是无限集。整数集合I、 有理数集合Q、实数集合R和复数集合C都是常见的无限集
第3章集合 3.12子集和集合的相等 定义3.1.1设A,B是任意的集合,当A的每一元素都 是B的元素时,则称A是B的子集,也称A包含在B内或B包 含A。记为AcB或BA。 当A不是B的子集时,记为A实B。 AB用谓词公式表示为:AcB>(x)x∈A→x∈B) AgB用谓词公式表示为:AgB>(丑x)(x∈A∧x≠B) 例如:设A=1},B=1,2},C=1,2,3}则 Aca acB, BcC, Acc C B 可以证明,集合的包含有下列性质: ①自反性。即对任意集合A,AcA ②传递性。即对任意集合A、B、C,当AcB和BcC 时,AcC
第3章 集合 3.1.2子集和集合的相等 定义3.1.1 设A，B是任意的集合，当A的每一元素都 是B的元素时，则称A是B的子集，也称A包含在B内或B包 含A。记为AB或BA。 当A不是B的子集时，记为A⊈B。 AB用谓词公式表示为：AB(x)(xA→xB) A⊈B用谓词公式表示为： A⊈B(x)(xA∧xB) 例如：设A=1，B=1,2，C=1,2,3 则 AA AB，BC，AC C⊈B 可以证明，集合的包含有下列性质： ①自反性。即对任意集合A，AA。 ②传递性。即对任意集合A、B、C，当AB和BC 时，AC
第3章集合 定义3.1.2设A,B是集合,如果AcB且BcA,则称A 与B相等。记为A=B。如果A与B不相等,记为A≠B。 集合相等也可用谓词公式表示为 A=B<→AcB∧BcA >(Vx)(x∈A→x∈B)∧(Vx)(x∈B→x∈A) (Vx)(x∈Ax∈B 例如:设A=1,2},B=1,12},C=2,1}则 A=C,A≠B 由集合相等的定义可以看出,集合相等有下列性质: ①自反性:即对任意集合A,A=A ②对称性:即对任意集合A、B,当A=B时,B=A。 ③传递性:即对任意集合A、B、C,当A=B和B=C时 A=C
第3章 集合 定义3.1.2 设A，B是集合，如果AB且BA，则称A 与B相等。记为A=B。如果A与B不相等，记为A≠B。 集合相等也可用谓词公式表示为： A=BAB∧BA (x)(xA→xB)∧(x)(xB→xA) (x)(xA↔xB) 例如：设 A=1,2，B=1, 2，C=2,1 则 A=C，A≠B 由集合相等的定义可以看出，集合相等有下列性质： ①自反性: 即对任意集合A，A=A。 ②对称性: 即对任意集合A、B，当A=B时，B=A。 ③传递性: 即对任意集合A、B、C，当A=B和B=C时， A=C
第3章集合 定义3.1.3设A,B是集合,如果A∈B且A≠B,则称A是 B的真子集。记为A<B。如果A不是B的真子集,记为A<B。 真子集用谓词公式表示为: AcB<AcB∧A≠B >(x)x∈A∈B)∧(3x)(x∈B∧xgA) 例如:设A=a},B=1ab},C=abc}则 acb, BcC, AcO A a 又如,自然数集是整数集合的真子集,也是有理数集 和实数集合的真子集,即Ncl,NcQ,NCR
第3章 集合 定义3.1.3 设A，B是集合，如果AB且A≠B，则称A是 B的真子集。记为AB。如果A不是B的真子集，记为AB。 真子集用谓词公式表示为： ABAB∧A≠B (x)(xA→xB)∧(x)(xB∧xA) 例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则 AB，BC，AC AA 又如，自然数集是整数集合的真子集，也是有理数集 合和实数集合的真子集，即NI，NQ，NR
第3章集合 定义3.14不包含任何元素的集合叫空集。记为必。 空集可以表示为 =x|P(x)∧-P(x)}其中,P(x)为任意谓词 空集是不包含任何元素的集合,所以,0 定理3.1.1空集是任意集合的子集。 证明:设A是任意集合。对任意对象x,由空集的定义 知,x∈⑧为假,由条件联结词的定义知,x∈⑧→x∈A为真。 根据全称推广规则有 (x)(x∈→→x∈A) 为真,故cA
第3章 集合 定义3.1.4 不包含任何元素的集合叫空集。记为。 空集可以表示为： =x | P(x)∧P(x) 其中，P(x)为任意谓词 空集是不包含任何元素的集合，所以，||=0。 定理3.1.1 空集是任意集合的子集。 证明：设A是任意集合。对任意对象x，由空集的定义 知，x为假，由条件联结词的定义知，x→xA为真。 根据全称推广规则有 (x)( x→xA) 为真，故A