中考复习资料 平面几何知识要点 性质定理3:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 性质定理3:正方形既是中心对称图形也是轴对称图形 判定定理1:有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形 判定定理2:一组邻边相等的矩形是正方形; 判定定理3:一个角为直角的菱形是正方形 等腰梯形 性质定理1:等腰梯形两底互相平行,两腰相等: 性质定理2:等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 性质定理3:等腰梯形的两条对角线相等。 性质定理4:等腰梯形是轴对称图形 判定定理1:腰相等的梯形是等腰梯形 判定定理2:在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形 判定定理3:对角线相等的梯形是等腰梯形。 如果等腰梯形对角线相互垂直,则高与中位线相等。 四边形四边中点连成的四边形图形: 1.如果原四边形对角线相等且垂直,那么四边形中点连成的新四边形为正方形: 2.如果原四边形对角线只相等不垂直,那么四边形中点连成的新四边形为菱形: 3.如果原四边形对角线垂直但不相等,那么四边形中点连成的新四边形为矩形; 4.如果原四边形对角线既不相等又非垂直,那么四边形中点连成的新四边形为平行四 边形 5.四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半 其它定理和公式 定理:四边形的内角和等于360°,四边形的外角和等于360° 2.多边形内角和定理:n边形的内角的和等于(n-2)×180° 推论:任意多边的外角和等于360° 3.n边形从一个顶点出发的对角线,共有(n-3)条,将n边形分成了(m-2)个三角形 n边形一共有=(n-3)条对角线。 4.正n边形的每个内角都等子:(n-2)×180 常用辅助线 IXA A 6
中考复习资料 平面几何知识要点 6 性质定理 3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 性质定理 3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定定理 1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形； 判定定理 2：一组邻边相等的矩形是正方形； 判定定理 3：一个角为直角的菱形是正方形。 等腰梯形 性质定理 1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等； 性质定理 2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 性质定理 3：等腰梯形的两条对角线相等。 性质定理 4：等腰梯形是轴对称图形。 判定定理 1：腰相等的梯形是等腰梯形； 判定定理 2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。 判定定理 3：对角线相等的梯形是等腰梯形。 如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。 四边形四边中点连成的四边形图形： 1． 如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形； 2． 如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形； 3． 如果原四边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形； 4． 如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四 边形。 5． 四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半. 其它定理和公式 1．定理：四边形的内角和等于 360°，四边形的外角和等于 360°。 2．多边形内角和定理: n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 推论：任意多边的外角和等于 360° 3．n 边形从一个顶点出发的对角线，共有(n－3)条，将 n 边形分成了(n－2)个三角形； n 边形一共有 n 2 (n－3)条对角线。 4．正 n 边形的每个内角都等于： ( 2) 180 n n − 常用辅助线
中考复习资料 平面几何知识要点 平面几何知识要点(四) 【圆、弧、弦】 圆及圆的相关量的定义 圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆 心,定长称为半径 弧、弦的定义:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧, 小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心 的弦叫做直径。 圆、弧的表示方法:圆-⊙弧- 弦心距定义:圆心到弦的距离叫做弦心距 弦切角定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 圆心角定义:顶点在圆心上的角叫做圆心角 圆周角定义:顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 圆心距定义:两圆圆心之间的距离叫做圆心距 连心线定义:过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。 扇形定义:在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 三角形的外接圆:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角 形的外心。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3 个顶点距离相等 三角形的内切圆:和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为 内心。内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距 离相等。 圆的内接正n边形、圆的外切正n边形定义:把圆分成n(≥3)等分: 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个 圆的外切正n边形 圆内接四边形面积: S=vp(p-a(p-b)(p-c)(p-d) 其中:p=-(a+b+c+d) 圆的外切四边形的两组对边的和相等 AB+CD=AD+BC 7
中考复习资料 平面几何知识要点 7 平面几何知识要点（四） 【圆、弧、弦】 圆及圆的相关量的定义 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆 心，定长称为半径。 弧、弦的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧， 小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心 的弦叫做直径。 圆、弧的表示方法: 圆--⊙ 弧-----⌒ 弦 心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。 圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 连心线定义：过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。 扇形定义: 在圆上，由 2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 三角形的外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角 形的外心。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形 3 个顶点距离相等。 三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为 内心。内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形 3 边距 离相等。 圆的内接正 n 边形、圆的外切正 n 边形定义：把圆分成 n(n≥3)等分： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个 圆的外切正 n 边形。 圆内接四边形面积： S p p a p b p c p d = − − − − ( )( )( )( ) 其中： 1 ( ) 2 p a b c d = + + + 圆的外切四边形的两组对边的和相等： AB＋CD＝AD＋BC a b c d A B D C
中考复习资料 平面几何知识要点 公切线定义:和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线 内公切线定义:两个不相交的圆在公切线两旁时,这样的公 切线叫做内公切线。 B 外公切线定义:两个不相交的圆在公切线的同旁时, 这样的公切线叫做外公切线 右图中:直线AB、①就是两圆的公切线,其中AB为外公切线,CD为内公切线。 公切线长计算公式:设⊙o1半径为R,⊙O2半径为r,R≥r,两圆的圆心距为d 外公切线长=√2-(R-)内公切线长=√P-(R+n 当两圆相切时,无内公切线长。 直线与圆有三种位置关系:1.无公共点为相离;2.有2个公共点为相交: 3.圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 两圆之间有5种位置关系:1无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,2.在之内叫内含 3.有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,4.在之内叫内切;5.有2个公共点 的叫相交 圆的基本性质 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): 当P在⊙O外,PO>r:当P在⊙O上,PO=r;当P在⊙O内,PO<r。 2.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是直线AB到圆心的距离) 当AB与⊙O相离,PO>r:当AB与⊙O相切,PO=r;当AB与⊙O相交,PO<r。 3.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥,圆心距为P): 外离P>R+r:外切P=R+;相交Rr<P<R+r;内切P=R-r:内含0≤P<Rr 4.同圆或等圆的半径相等 5.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称 中心是圆心。 6.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 7.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。 8.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这 个圆的切线 圆的定理: 8
中考复习资料 平面几何知识要点 8 公 切线定义:和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 内 公切线定义：两个不相交的圆在公切线两旁时，这样的公 切线叫做内公切线。 外 公切线定义：两个不相交的圆在公切线的同旁时， 这样的公切线叫做外公切线。 右图中：直线 AB、CD 就是两圆的公切线，其中 AB 为外公切线，CD 为内公切线。 公切线长计算公式：设⊙ 1 o 半径为 R，⊙ 2 o 半径为 r，R r ，两圆的圆心距为 d 外公切线长= 2 2 d R r − − ( ) 内公切线长= 2 2 d R r − + ( ) 当两圆相切时，无内公切线长。 直线与圆有三种位置关系：1.无公共点为相离；2．有 2 个公共点为相交； 3．圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 两圆之间有 5 种位置关系：1.无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，2．在之内叫内含； 3．有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，4．在之内叫内切；5．有 2 个公共点 的叫相交。 圆的基本性质: 1．点 P 与圆 O 的位置关系（设 P 是一点，则 PO 是点到圆心的距离）： 当 P 在⊙O 外，PO＞r；当 P 在⊙O 上，PO＝r；当 P 在⊙O 内，PO＜r。 2．直线 AB 与圆 O 的位置关系（设 OP⊥AB 于 P，则 PO 是直线 AB 到圆心的距离）： 当 AB 与⊙O 相离，PO＞r；当 AB 与⊙O 相切，PO＝r；当 AB 与⊙O 相交，PO＜r。 3．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心距为 P）： 外离 P＞R+r；外切 P=R+r；相交 R-r＜P＜R+r；内切 P=R-r；内含 0≤P＜R-r。 4．同圆或等圆的半径相等。 5．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称 中心是圆心。 6. 不在同一直线上的 3 个点确定一个圆。 7. 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。 8．圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这 个圆的切线。 圆的定理： A C B D
中考复习资料 平面几何知识要点 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。PT=PA×PB 推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等。 PAx PB=PC×PD(此推论也叫割线定理) 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中 注:切割线定理与割线定理,相交弦定理统称为圆幂定理。 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆心 角的一半 推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心 距相等 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有 组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 定理2:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等。 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 定理3:两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦。 定理4两圆相切时,连心线通过切点 定理5:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 定理6:圆的外切四边形的两组对边的和相等 定理7:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
中考复习资料 平面几何知识要点 9 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。 2 PT PA PB = 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等。 PA PB PC PD = （此推论也叫割线定理） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中 项。 注 ：切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆心 角的一半。 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一 组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 定理 2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 定理 3：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦。 定 理 4 两圆相切时，连心线通过切点。 定理 5：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 定理 6：圆的外切四边形的两组对边的和相等。 定理 7：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 P T A C B D
习资料 平面几何知识要点 圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式 圆周长 圆的面积 扇形面积 nATI 公式C=2mr=nd S=丌r 180 360r=mlr 半径r直径一d扇形弧长一周长—C面积_Sn°-扇形的圆心角 扇形与弓形的联系与区别 图 B 示 面 积 S9形=S扇形-S△ 号形一扇形+S△ 注:(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长十弧长 圆锥与圆柱的比较 名称 CAr 图形 CBrc 注:圆锥的母线长为1,底面圆的 圆柱的底面半径为r,高为h 半径为r 图形的形成过由一个直角三角形旋转得到的,如由一个矩形旋转得到的,如矩形 程 Rt△SOA绕直线SO旋转一周。ABCD绕直线AB旋转一周。 图形的组成 个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 扇形 矩形 侧面展开图的 面积计算方法S侧=zrl 10
中考复习资料 平面几何知识要点 10 圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式 圆周长 圆的面积 弧长 扇形面积 公式 C r d = = 2 2 S r = 180 n r l = 2 1 360 2 n S r lr = = 注：半径—r 直径—d 扇形弧长—l 周长—C 面积—S n°--扇形的圆心角 扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 S弓形 =S S 扇形 − 1 = S 2 S弓形 圆 S弓形 =S +S 扇形 注:（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 注：圆锥的母线长为 l，底面圆的 半径为 r 圆柱的底面半径为 r，高为 h 图 形 的形 成 过 程 由一个直角三角形旋转得到的，如 Rt△SOA 绕直线 SO 旋转一周。 由一个矩形 旋转得 到的，如 矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧 面 展开 图 的 特征 扇形 矩形 面积计算方法 S rl 侧 = S rh 侧 = 2