结论：E为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域D =[a,b]×[c,d]- E.二．R上的完备性定理定义 1 设(pn}c R2为平面点列，P°ε R为一固定点。若对任给的正数 ε,存在正整数N,使得当n>N时,有P EU(P;),则称点列
结论: E为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域 D a b c d E = , , . 二. 2 R 上的完备性定理 2 0 2 n 定义１ 设 p R P R 为平面点列， 为一固定点。 若对任给的正数 ，存在正整数N，使得 当n N P U P 时，有 n ( 0 ; , ) 则称点列
(P,收敛于点P.记作：lim P, = P。 或 Pn → Po,n →o0n-00定理16.1（柯西准则平面点列(P}收敛任给正数，存在正整数N，使得当n>N时,对一切正整数p,都有p(Pn, Pn+p)< 8.(6)证明：「必要性设lim P,= P,则由三角不等式
定理16.1(柯西准则) 平面点列P n 收敛 任给正数 ，存在 正整数N n N ，使得当 时,对一切正整数 p P P , , . 都有 ( n n p + ) （６） Pn 收敛于点P0 .记作： = → → → P P P P n n n n lim , 0 或 0 证明：[必要性] 0 lim , n n P P → 设 = 则由三角不等式
p(Pn, Pu+p)≤p(P, P)+p(Pn+p,P.)及数列收敛的定义，对 ,存在正整数N当n>N(也有n+p>N)时,但有p(cg.,)-号-p(cm)号应用三角不等式，立刻得到（6）式[充分性]当（6）式成立时，则同时有
+ (P P P P P P n n p n n p , , , + + ) ( 0 0 ) ( ) 及数列收敛的定义，对 ,存在正整数N， ( , , , . 0 0 ) ( ) 2 2 P P P P n n p + 恒有 应用三角不等式，立刻得到（6）式 当n>N(也有n+p>N)时, [充分性] 当（6）式成立时，则同时有
Xn+p-xn|≤p(P,, Pn+p)<8,[yn+p - yn|≤p(P,, Pn+p) <8.这说明数列(xn),yn)都满足柯西收敛准则（定理2.10），所以它们都收敛。设lim x,=xo,lim yn =yo.从而由点列收敛的n-oon>8概念推得(P)收敛于点P（,)(本节习题5)
x x P P n p n n n p + + − ( , , ) y y P P n p n n n p + + − ( , . ) 这说明数列x y n n , 都满足柯西收敛准则 （定理2.10），所以它们都收敛。设 0 0 lim ,lim . n n n n x x y y → → = = 从而由点列收敛的 概念推得P P x y n 收敛于点 0 0 0 ( , 5 )(本节习题 )
定理16.2（闭域套定理设(D,)是R2中的闭域列，它满足:(i)Dn Dn+1,n = 1,2,...;(i)dn =d(Dn),limdn = O,8则存在唯一的点PE Dn,n =1,2,··证明： 任取点列P, ε Dn,n =1,2,·由于Dn+p c D,因此P, P+p = D,从而 (图16-2)n+pp(Pn, Pn+p)≤ d, → 0,n → 00
定理16.2（闭域套定理） 2 设 D R n 是 中的闭域列，它满足： ( ) 1 , 1,2, ; n n i D D n = + ( ) ( ),lim 0, n n n n ii d d D d → = = 0 , 1,2, . 则存在唯一的点P D n = n , 1,2, . 证明: 任取点列P D n n n = 由于 D D P P D n p n n n p n + + − , , , 16 2 因此 从而（图 ） → → (P P d n n n p n , 0, . + )