自动控制系统及应用 第二章拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换,经变换后,可将时域的微分方程变 换成复数域的代数方程。并且在变换的同时,即将初始条件引入,避免了经典解法中求积分 常数的麻烦,可使解题过程大为简化。因此,对于那些以时间t为自变量的定常线性微分方 程来说,拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中,自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的,而传递函 数的概念又是建立在拉氏变换的基础上,因此,拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础, 是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义,一些常用时间函 数的拉氏变换,拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后,介绍用拉氏变换解微分方程 的方法。在学习中应注重该数学方法的应用,为后续章节的学习奠定基础 21拉氏变换 211拉氏变换的定义 若f(t)为实变量时间t的函数,且t<0时,函数f(t)=0,则函数f()的拉氏变换记作 f()或F(s),并定义为: Lf(O)=F(s)=∫。Oedt (2.1) 式中s=a+jO为复变量,F(s)称为f(t)的象函数,称∫(1)为F(S)的原函数。原函 数是实变量t的函数,象函数是复变量S的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数f(t) 转化为复变量函数F(s)的一种积分运算。在本书中,将用大写字母表示相对应的小写字母 所代表的函数的拉氏变换。 若式(21)的积分收敛于一确定的函数值,则∫(m)的拉氏变换F(S)存在。这里f(1)必 须满足狄里赫里条件。这些条件在工程上常常是可以满足的 212典型时间函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数 单位阶跃函数如图21所示 其定义为 0(<0) f(m)=l(0) 由式(2.1)可得 图2.1单位阶跃函数 L[()=。1ed (2.2)
自动控制系统及应用 77 第二章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变 换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分 常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间 t 为自变量的定常线性微分方 程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函 数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础， 是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函 数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程 的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。 2.1 拉氏变换 2.1.1 拉氏变换的定义 若 f t() 为实变量时间 t 的函数,且 t 0 时，函数 f t( ) 0 = ，则函数 f t() 的拉氏变换记作 L[ ( )] f t 或 F(s) ，并定义为： 0 L[ ( )] ( ) ( )e d st f t F s f t t + − = = （2.1） 式中 s j = + 为复变量， F s( ) 称为 f t() 的象函数，称 f t() 为 F s( ) 的原函数。原函 数是实变量 t 的函数，象函数是复变量 s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数 f t() 转化为复变量函数 F s( ) 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母 所代表的函数的拉氏变换。 若式（2.1）的积分收敛于一确定的函数值，则 f t() 的拉氏变换 F s( ) 存在。这里 f t() 必 须满足狄里赫里条件。这些条件在工程上常常是可以满足的。 2.1.2 典型时间函数的拉氏变换 ⑴单位阶跃函数 单位阶跃函数如图 2.1 所示。 其定义为 0 ( 0) ( ) 1( ) 1 ( 0) t f t t t = = 由式（2.1）可得 0 0 e 1 L[1( )] 1 e d st st t t s s + − + − = = − = (2.2) 0 图4.1 单位阶跃函数 1 图 2.1 单位阶跃函数
自动控制系统及应用 在自动控制系统中,单位阶跃函数相当于一个实加作用信号,如开关的闭合(或断开) 加(减)负载等 (2)单位脉冲函数 单位脉冲函数如图22所示 其定义为 6(1)= 同时,∫。()=1,即脉冲面积为1。而且有如下特性: (1)·f(tdt=f(0) f(0)为f(1)在t=0时刻的函数值。 由式(21)求(1)的拉氏变换: L[(t)]= 6(0)edt=e|=0 (23) △t→ 图22单位脉冲函数 图2.3单位斜坡函数 (3)单位斜坡函数 单位斜坡函数如图23所示 其定义为 f(t)= t(t20) 由式(2.1)有 o (e-st dt=te/*oo (24) +op e (4)指数函数e
自动控制系统及应用 78 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开）， 加（减）负载等。 ⑵单位脉冲函数 单位脉冲函数如图 2.2 所示。 其定义为 0 ( ) 0 0 t t t = = 同时， 0 ( )d 1 t t + = ，即脉冲面积为 1。而且有如下特性： ( ) ( )d (0) t f t t f + − = f (0) 为 f t() 在 t = 0 时刻的函数值。 由式（2.1）求 ()t 的拉氏变换： 0 0 [ ( )] ( ) e d e 1 st st t t t t + − − L = = = = (2.3) ⑶ 单位斜坡函数 单位斜坡函数如图 2.3 所示。 其定义为 0 ( 0) ( ) ( 0) t f t t t = 由式（2.1）有 0 0 0 2 2 0 0 e e [ ] e d ( )d e 1 1 d e L st st st st st t t t t t s s t s s s + − − + + − − + + − = = − − − = = − = （2.4) ⑷指数函数 e at 图 2.2 单位脉冲函数 图4.2 单位脉冲函数 0 △ →0 0 图 2.3 单位斜坡函数 0 图4.3 单位斜坡函数 45°
自动控制系统及应用 L|e"]= 同理 L[e“] s+a (5)正弦函数 sin ot 由欧拉公式 sin ot=(e-e-),可得 LIsin ot (e/o-e- o)e-dt 2j s-Jo s+je (6)余弦函数 cos ot 由欧拉公式cm=(em+em),可得 LIcos ot 0 S (7)幂函数t 令l=s,则t=-,dt=-dl 则有 ul du 式中。u"e“da=I(n+1)为r函数 而 r(n+1) 故 [t"] 上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换 式。实际上,常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表,就能够知 道原函数的象函数,或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表2.1
自动控制系统及应用 79 ( ) 0 0 1 L[e ] e e d e d at at st s a t t t s a + + − − − = = = − (2.5) 同理 1 L[e ] at s a − = + (2.6) ⑸正弦函数 sint 由欧拉公式 1 sin (e e ) 2 j t j t t j − = − ，可得 0 0 2 2 1 [sin ] sin e d (e e )e d 2 1 1 1 ( ) 2 L st j t j t st t t t t j j s j s j s + + − − − = = − = − − + = + (2.7) ⑹余弦函数 cost 由欧拉公式 1 cos (e e ) 2 j t j t t − = + ，可得 0 0 2 2 1 [cos ] cos e d (e e )e d 2 1 1 1 ( ) 2 L st j t j t st t t t t s j s j s s + + − − − = = + = + − + = + (2.8) ⑺幂函数 n t 0 L[ ] e d n n st t t t + − = 令 u st = ，则 1 ,d d u t t u s s = = 则有 1 0 0 0 1 1 L[ ] e d e d e d n n n st u n u n n u t t t u u u s s s + + + − − − + = = = 式中 0 e d ( 1) n u u u n + − = + 为 函数， 而 (n + 1) = n! 故 1 ! [ ] + = n n s n L t 上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换 式。实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知 道原函数的象函数，或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表 2.1
自动控制系统及应用 表2常用函数拉氏变换对照表 原函数f(1) 象函数F(S) d(1) l(1) s+a te sin ot S cOST S-+ r"(n=1,2,3,… r"e(n=1,2,3…) s+a (s+a)(s+b) (s+a)(s+b) 12 ablt a-b be s(s+a(s+b) 13 e sin ot (S+a)2+O s+a (S+a)2+ s+a 16 e"*ond sin(On 1-52D) s-+2E0s+o (0<5<1) "seu sin( 17 p= arctan (0<5<1)
自动控制系统及应用 80 表 2.1 常用函数拉氏变换对照表 原函数 f t() 象函数 F s( ) 1 ()t 1 2 1( )t 1 s 3 t 2 1 s 4 e −at 1 s a + 5 e at t − 2 1 ( ) s a + 6 sint 2 2 s + 7 cost 2 2 s s + 8 ( 1,2,3, ) n t n = 1 ! n n s + 9 e ( 1,2,3 ) n at t n − = 1 ! ( )n n s a + + 10 1 (e e ) at bt b a − − − − 1 ( )( ) s a s b + + 11 1 ( e e ) bt at b a b a − − − − ( )( ) s s a s b + + 12 1 1 [1 ( e e )] at bt b a ab a b − − + − − 1 s s a s b ( )( ) + + 13 e sin at t − 2 2 ( ) s a + + 14 e cos at t − 2 2 ( ) s a s a + + + 15 2 1 (e 1) at at a − + − 2 1 s s a ( ) + 16 n n 2 n 2 e sin( 1 ) 1 t t − − − 2 n 2 2 n n 2 (0 1) s s + + 17 n 2 n 2 2 1 e sin( 1 ) 1 1 arctan t t − − − − − − = 2 2 n n 2 (0 1) s s s + +
自动控制系统及应用 续表 S(2+250ns+n) arctan (0<5<1) 22拉氏变换的性质 下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质 221线性性质 拉氏变换是一个线性变换,若有常数K1、K2,函数f1(1)、f2(1),则 L[K1f(1)+K2f()]=K1LLf()]+K2LL2() =K1F1(s)+K2F2(s) 上式可由拉氏变换的定义式直接得证。 线性性质表明,时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和:;原函数乘以常 数K的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的K倍。 例21已知f(t)=1-2 cos ot,求F(s) F(S=LIf(OJ=L[1-2 cos at 解: S S"+O s(s+O' 222实数域的位移定理(延时定理) 若有一函数f(1)相当于f(m从坐标轴右移一段时间r,即f()=f(-),称函数 f(n为f(1)的延迟函数,如图24所示 那么,f()和f()的象函数之间具有下列关系 L[f()=L[f(t-)=e"F(s) (2.11) 证明: L/(=)=。(-)e"dt 令l=t-r,则t=l+r,dt=da 代入上式有
自动控制系统及应用 81 续表 18 2 2 2 1 1 sin( 1 ) 1 1 n t n e t arctan − − − − − − − = 2 2 2 ( 2 ) (0 1) n n n s s s + + 2.2 拉氏变换的性质 下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。 2.2.1 线性性质 拉氏变换是一个线性变换，若有常数 K1 、 K2 ，函数 ( ) 1 f t 、 ( ) 2 f t ，则 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) L L L K f t K f t K f t K f t K F s K F s + = + = + (2.10) 上式可由拉氏变换的定义式直接得证。 线性性质表明，时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和；原函数乘以常 数 K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的 K 倍。 例 2.1 已知 f t t ( ) 1 2cos = − ，求 F s( ) 解： 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ( )] [1 2cos ] 1 2 ( ) F s f t t L L s s s s s s = = − − + = − = + + 2.2.2 实数域的位移定理（延时定理） 若有一函数 1 f t() 相当于 f t() 从坐标轴右移一段时间 ,即 1 f t f t ( ) ( ) = − ,称函数 1 f t() 为 f t() 的延迟函数，如图 2.4 所示。 那么， 1 f t() 和 f t() 的象函数之间具有下列关系： 1 L L [ ( )] [ ( )] e ( ) s f t f t F s − = − = （2.11） 证明： 0 L[ ( )] ( )e d st f t f t t + − − = − 令 u t = − ，则 t u t u = + = ,d d 代入上式有