《自动控制系统及应用》第六章 自动控制系统的稳态性能分析

自动控制系统及应用 第六章自动控制系统的稳态性能分析 自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量:一个是暂态分量,另一个是稳态分量。 暂态分量反映控制系统的动态性能。对于稳定的系统,暂态分量随着时间的推移,将逐渐减 小并最终趋于零。稳态分量反映控制系统跟踪给定量和抑制扰动量的能力和准确度。对于稳 定的系统来说,稳态性能的优劣一般是以稳态误差的大小来度量 由于稳态误差始终存在于系统工作过程之中,因此在设计控制系统时,除了首先要保证 系统能稳定运行外,其次就是要求系统的稳态误差小于规定的容许值。 本章着重建立有关稳态误差的概念,介绍稳态误差的分析和计算方法,并将讨论减小稳 态误差的途径。 61系统稳态误差的概念 为建立稳态误差的概念,需要对控制系统的误差给出确切的定义,同时要明确系统的误 差和偏差的区别以及它们的联系 611系统的误差e()与偏差(1) 设c1(1)为控制系统的希望输出,c(1)为其实际输出,则误差e()定义为: e(D)=c1()-c( 其拉氏变换记为E(s) E(S=CH(S)-C(s 系统的偏差则是以输入端为基准来定义的,记为ε(1), E(1)=r(1)-b(1) 其拉氏变换记为6(s) (s)=R(s)-B(s)=R(S)-H(SC(s) (6.2) 式中H(s)为反馈回路的传递函数 H(S) E(s) 由此可见,系统的误差e(1)和系统的偏差e(t) 一般情况下并不相同。 现绘出图61来求E(s)与E(s)之间的关系。 图61E(s)与6(m)关系框图

自动控制系统及应用 165 第六章 自动控制系统的稳态性能分析 自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量：一个是暂态分量，另一个是稳态分量。 暂态分量反映控制系统的动态性能。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的推移，将逐渐减 小并最终趋于零。稳态分量反映控制系统跟踪给定量和抑制扰动量的能力和准确度。对于稳 定的系统来说，稳态性能的优劣一般是以稳态误差的大小来度量。 由于稳态误差始终存在于系统工作过程之中，因此在设计控制系统时，除了首先要保证 系统能稳定运行外，其次就是要求系统的稳态误差小于规定的容许值。 本章着重建立有关稳态误差的概念，介绍稳态误差的分析和计算方法，并将讨论减小稳 态误差的途径。 6.1 系统稳态误差的概念 为建立稳态误差的概念，需要对控制系统的误差给出确切的定义，同时要明确系统的误 差和偏差的区别以及它们的联系。 6.1.1 系统的误差 et() 与偏差  ()t 设 H c t() 为控制系统的希望输出， ct() 为其实际输出，则误差 et() 定义为： H e t c t c t ( ) ( ) ( ) = − 其拉氏变换记为 E s( ) H E s C s C s ( ) ( ) ( ) = − （6.1） 系统的偏差则是以输入端为基准来定义的，记为  ()t ，  ( ) ( ) ( ) t r t b t = − 其拉氏变换记为  ( )s  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s R s B s R s H s C s =−=− (6.2) 式中 H s( ) 为反馈回路的传递函数。 由此可见，系统的误差 et() 和系统的偏差  ()t ， 在一般情况下并不相同。 现绘出图 6.1 来求 E s( ) 与  ( )s 之间的关系。 图 6.1 E s( ) 与  ()t 关系框图 + 图8.1 (s)与 关系框图 - + (s) - 1 r

如前所述,一个闭环控制系统是运用偏差E(s)来对输出C(s)进行自动控制的。当 C(s)≠C(s)时,ε(s)≠0,(s)就起控制作用,力图将C(s)调节到C(s)值:反之, 当C(s)=CH(s)时,应有E(s)=0,ε(s)不再对C(s)进行调节。 因此,当C(s)=C1(s)时,s(S)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)-H(s)C(s)=0,故: R(S CH(S) H(s) 由式(61)、式(62)、和式(6.3)可求得在一般情况下系统的误差与偏差的关系为: E(s)=() H(s) 由上式可知,求出偏差后即可求出误差,对单位反馈系统来说,H(s)=1,故偏差与 误差二者相同 612误差e()的一般计算 为了在一般情况下分析、计算系统的误差 (),设输入R(S)与扰动D(s)同时作用于系Rs)e(s) 统,绘出如图62所示的典型系统框图。 现可求得图示情况下系统的实际输出的拉 图62典型系统框图 氏式C(s),它是由R(s)引起的输出C(s)和扰 动D(s)引起的输出C(s)的叠加。 C(s)=C(s)+C4(S) G1(S)G2(s) R(S)+ G2(s) 1+G(s)G2()(5)21() (6.5) 1+G(s)G2(s)H(s) dr (S)R(S)+pd (S)D(s) 式中Φ(s)=(5) G1(s)G2(S) 为输入与输出之间的传递函数: R(s)1+G1(s)G2(s)H(s) CA(s) G2(s) 为扰动与输出之间的传递函数 D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)

自动控制系统及应用 166 如前所述，一个闭环控制系统是运用偏差  ( )s 来对输出 C s( ) 进行自动控制的。当 H C s C s ( ) ( )  时，  ( ) 0 s  ， ( )s 就起控制作用，力图将 C s( ) 调节到 H C s( ) 值；反之， 当 H C s C s ( ) ( ) = 时，应有  ( ) 0 s = ， ( )s 不再对 C s( ) 进行调节。 因此，当 H C s C s ( ) ( ) = 时， H  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 s R s H s C s R s H s C s = − = − = ，故： H ( ) ( ) ( ) R s C s H s = （6.3） 由式(6.1)、式(6.2)、和式(6.3)可求得在一般情况下系统的误差与偏差的关系为：  ( ) ( ) ( ) s H s E s = 或 ( ) ( ) ( ) s E s H s  = (6.4) 由上式可知，求出偏差后即可求出误差，对单位反馈系统来说， H s( ) 1 = ，故偏差与 误差二者相同。 6.1.2 误差 et() 的一般计算 为了在一般情况下分析、计算系统的误差 et() ，设输入 R s( ) 与扰动 D s( ) 同时作用于系 统，绘出如图 6.2 所示的典型系统框图。 现可求得图示情况下系统的实际输出的拉 氏式 C s( ) ，它是由 R s( ) 引起的输出 r C s( ) 和扰 动 D s( ) 引起的输出 d C s( ) 的叠加。 r d 1 2 2 1 2 1 2 cr cd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C s C s C s G s G s G s R s D s G s G s H s G s G s H s s R s s D s = + = + + + =  +  （6.5） 式中 r 1 2 cr 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) C s G s G s s R s G s G s H s  = = + 为输入与输出之间的传递函数； d 2 cd 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) C s G s s D s G s G s H s  = = + 为扰动与输出之间的传递函数。 图8.2 图 6. 典型系统框图 2 典型系统框图 + - 1 + + 2

将式(63)、式(6.5)代入式(61)得: E(S)=CH(S)-C(s R(S) Φa(s)R H(s) (s)R(s)+[-Φ(S)D(s) Φ-(s)R(s)+da(S)D(s) E,(S)+E(S) 式中 H(S[+G,S)G,(S)H(sI Φa(s)=-Ka(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) E,(s)=Φ(S)R(s) E4(s)=Φ(S)D(s) Φ(s)为无扰动d(t)时误差e()对于输入r(1)的传递函数;Φa(s)为无输入r(1)时 误差e(1)对于扰动d(1)的传递函数。Φ(s)和Φ(S)总称为误差传递函数,反映了系统的 结构与参数对误差的影响。E(S)为输入量产生的误差拉氏式;E(S)为扰动量产生的误差 拉氏式 若对式(66)进行拉氏反变换,即可得: e(D)=e1(D)+e2(D) 式(67)表明,系统总的误差为输入产生的跟随误差e(1)和扰动产生的扰动误差ea()的 代数和 61.3系统的稳态误差和稳态偏差 系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差。只有稳定的系统才存在稳态误差。不稳定 的系统,讨论其稳态误差失去意义 稳定系统的稳态误差定义为: lime(o) (6.8) 为了计算稳态误差,可首先求出系统的误差信号的拉氏变换式E(s),再应用终值定理求解 lime(t)=lims·E(s) 同理,系统的稳态偏差

自动控制系统及应用 167 将式（6.3）、式(6.5)代入式（6.1）得： H cr cd cr cd er ed r d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s C s C s R s s R s s D s H s s R s s D s H s s R s s D s E s E s = − = −  −  = −  + − =  +  = + （6.6） 式中 er cr 1 2 2 ed 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )[1 ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) cd s s H s H s G s G s H s G s s s G s G s H s  = −  = + −  = − = + r er d ed ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s s R s E s s D s =  =  er  ( )s 为无扰动 d t() 时误差 et() 对于输入 rt() 的传递函数； ( ) ed  s 为无输入 rt() 时 误差 et() 对于扰动 d t() 的传递函数。 er  ( )s 和 ( ) ed  s 总称为误差传递函数，反映了系统的 结构与参数对误差的影响。 r E s( ) 为输入量产生的误差拉氏式； d E s( ) 为扰动量产生的误差 拉氏式。 若对式（6.6）进行拉氏反变换，即可得： r d e t e t e t ( ) ( ) ( ) = + （6.7） 式(6.7)表明，系统总的误差为输入产生的跟随误差 r e t() 和扰动产生的扰动误差 d e t() 的 代数和。 6.1.3 系统的稳态误差和稳态偏差 系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差。只有稳定的系统才存在稳态误差。不稳定 的系统，讨论其稳态误差失去意义。 稳定系统的稳态误差定义为： ss lim ( ) t e e t → = （6.8） 为了计算稳态误差，可首先求出系统的误差信号的拉氏变换式 E s( ) ，再应用终值定理求解 ss 0 lim ( ) lim ( ) t s e e t s E s → → = =  （6.9） 同理，系统的稳态偏差

自动控制系统及应用 Es= lima(t)=lim s.a(s) (6.10) 62与输入信号有关的稳态误差 621跟踪稳态误差 系统在输入信号作用下的稳态误差反映了系统跟踪输Rs)、ε(s) 入信号的准确度,称为系统的跟踪稳态误差。此时不考虑扰 -Gs) 动作用,即D(s)=0,只有R(s)作用于系统的框图如图63 图6.3系统框图 所示 由图6.3可知 E(S)= R(s) (6.11) 1+G(s)H(s) 将式6.11)代入式(64)有 E(s)=E(s) E(s) R(S) H(s)H(s)[1+G(s)H(3) 由终值定理得跟随稳态误差e,为: es=lims·E,(s)=lim s·R(s) (6.12) 0H(s)1+G(s)H() 由式(612)可见,输入信号所产生的跟随稳态误差e与系统的结构参数有关,还与输 入信号的大小和变化规律有关。当输入信号一定时,e取决于系统的结构和参数。下面就 此作进一步讨论 622e与系统结构参数的关系 系统开环传递函数G(S)H(S),一般可化为分子分母各因式的常数项均为1的形式 G(SH(s) k(Ts+1)(Ts+1)…(Tns+1) (6.13) S(Ts+1(T2s+1)…(T+1) 式中k为开环增益,Tn…,m;7,…,分别为时间常数。S表示原点处有y重极点,也就 是说开环传递函数含有γ个积分环节,y=0,1,2…,γ表征了系统的结构特征。工程上

自动控制系统及应用 168 ss 0 lim ( ) lim ( ) t s    t s s → → = =  （6.10） 6.2 与输入信号有关的稳态误差 6.2.1 跟踪稳态误差 ssr e 系统在输入信号作用下的稳态误差反映了系统跟踪输 入信号的准确度，称为系统的跟踪稳态误差。此时不考虑扰 动作用，即 D s( ) 0 = ，只有 R s( ) 作用于系统的框图如图 6.3 所示。 由图 6.3 可知 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) s R s G s H s  = + (6.11) 将式(6.11)代入式(6.4)有 r ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[1 ( ) ( )] s E s E s R s H s H s G s H s  = = = + 由终值定理得跟随稳态误差 ssr e 为： ssr 0 0 ( ) lim ( ) lim ( )[1 ( ) ( )] r s s s R s e s E s → → H s G s H s  =  = + （6.12） 由式(6.12)可见，输入信号所产生的跟随稳态误差 ssr e 与系统的结构参数有关，还与输 入信号的大小和变化规律有关。当输入信号一定时， ssr e 取决于系统的结构和参数。下面就 此作进一步讨论。 6.2.2 ssr e 与系统结构参数的关系 系统开环传递函数 G s H s ( ) ( ) ，一般可化为分子分母各因式的常数项均为 1 的形式 1 2 ( 1)( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1) a b m p k T s T s T s G s H s s T s T s T s  + + + = + + + （6.13） 式中 k 为开环增益， m 1 p , , ; , , T T T T a 分别为时间常数。 s  表示原点处有  重极点，也就 是说开环传递函数含有  个积分环节，  = 0 ，1，2…，  表征了系统的结构特征。工程上 图 6.3 系统框图 图8.3 系统框图 + -

自动控制系统及应用 往往把系统中包含的积分环节的个数y称为型别,或无静差度。 y=0,无积分环节,称为0型系统(又称零阶无静差); y=1,有1个积分环节,称为I型系统(又称一阶无静差) y=2,有2个积分环节,称为Ⅱ型系统(又称二阶无静差)。 γ愈高,稳态精度愈高,但稳定性愈差,因此,一般系统不超过Ⅲ型。 注意,系统的型别与系统的阶次是完全不同的两个概念。例如 G(S)H(S) k(0.5+1) s(s+1)(2s+1) 由于y=1,故为Ⅰ型系统,但就其阶次而言,由分母部分可知属于三阶系统 稳态误差与开环传递函数中的时间常数无关,这可从下面的分析看出 式(6.13)可改写成如下形式 G(S)H(s)=Go(s)Ho(s) (6.14) 式中,G6(S)H0(s)= (Ts+1(Ts+l)…(Ts+1) (Ts+1)(T2s+1)…(TS+1) 显然有 lim Go(S)Ho(s)=1 x→0 lim G(s)H(s)=lim k (6.15) x→0 如果再假设反馈回路不含积分环节,增益为,那么 lim H(s)=a (6.16) 经上述处理后,式(6.12)所表示的跟随稳态误差可表达为 e = lim R(S) 3-0 H(S[+G(S)H(S)] R(S) R(s) (6.17) lim =lim al+k1 o a[s+kI 由式(617)可知,由输入信号R(S)所产生的系统的跟随稳态误差e与前向通道所含积 分环节的个数γ和开环增益k值有关。γ值愈高,k值愈大,则跟随稳态误差es愈小,系 统稳态精度愈高。当然,ε还与输入信号R(s)有关。下面再来讨论不同类型的系统,在不 同输入信号作用下的稳态误差

自动控制系统及应用 169 往往把系统中包含的积分环节的个数  称为型别，或无静差度。  = 0 ，无积分环节，称为 0 型系统（又称零阶无静差）；  = 1 ，有 1 个积分环节，称为Ⅰ型系统（又称一阶无静差）；  = 2 ，有 2 个积分环节，称为Ⅱ型系统（又称二阶无静差）。  愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过Ⅲ型。 注意，系统的型别与系统的阶次是完全不同的两个概念。例如 (0.5 1) ( ) ( ) ( 1)(2 1) k s G s H s s s s + = + + 由于  = 1 ，故为Ⅰ型系统，但就其阶次而言，由分母部分可知属于三阶系统。 稳态误差与开环传递函数中的时间常数无关，这可从下面的分析看出。 式（6.13）可改写成如下形式 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k G s H s G s H s s  = (6.14) 式中， 0 0 1 2 ( 1)( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1) a b m p T s T s T s G s H s T s T s T s + + + = + + + 显然有 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) lim s s s G s H s k G s H s s  → → → = = （6.15） 如果再假设反馈回路不含积分环节，增益为  ，那么 0 lim ( ) s H s  → = （6.16） 经上述处理后，式（6.12）所表示的跟随稳态误差可表达为 ssr 0 ( 1) 0 0 ( ) lim ( )[1 ( ) ( )] ( ) ( ) lim lim [ ] [1 ] s s s s R s e H s G s H s s R s s R s k s k s      → + → →  = +   = = + + （6.17） 由式(6.17)可知，由输入信号 R s( ) 所产生的系统的跟随稳态误差 ssr e 与前向通道所含积 分环节的个数  和开环增益 k 值有关。  值愈高， k 值愈大，则跟随稳态误差 ssr e 愈小，系 统稳态精度愈高。当然， ssr e 还与输入信号 R s( ) 有关。下面再来讨论不同类型的系统，在不 同输入信号作用下的稳态误差