《自动控制系统及应用》第八章 自动控制系统的校正

自动控制系统及应用 第八章自动控制系统的校正 前已论及,控制系统是为完成特定任务而设置的一系列元件的组合。为完成既定任务, 需对控制系统提出要求,通常以性能指标来表示,这些指标常常与精度、相对稳定性和响应 速度等有关。当系统通过调整参数(如增益)也不能全面满足性能指标要求时,就需对系统 进行校正。 本章将首先介绍系统校正的有关概念,接着介绍串联校正中的相位超前校正、相位滞后 校正、相位滞后一超前校正和PID校正,以及反馈校正和顺馈补偿。应掌握各种校正的特点 对系统性能的影响及其实现的方法 8.1系统的校正 8.1.1校正的含义 个系统的性能指标总是根据它所要完成的具体任务规定的。一般情况下,几个性能指 标的要求往往是矛盾的,例如,增大开环增益能减小稳态误差,但又会影响系统的瞬态响应 甚至破坏系统的稳定性。也就是说,仅仅依靠调整参数,并不一定能使系统全面地满足性能 指标的要求。此时,可在原有系统中,有目的地增添一些装置或元件,使系统全面地满足性 能指标的要求。我们把这种在系统中增加新的环节,以改善系统性能的方法称为对系统进行 校正。新增的环节(或装置)称为校正环节(或校正装置)。 8.12校正的实质 在原系统中,增加校正环节,必定会使系统的传递函数发生改变,导致系统零点和极点 的重新分布。适当地增加零点和(或)极点,可使系统满足期望的要求,以实现对系统进行 校正的目的。校正的实质就在于改变系统的零、极点分布,改变系统频率特性或根轨迹的形 状 图8.1示出了系统校正改善性能的一个例子。 曲线①为开环右极点p=0的系统的开环奈氏图, 由于奈氏轨迹包围了(-1,j0)点,故相应的系统不 稳定。为了使系统稳定,可能的方法之一是减小 系统的开环增益K,即由K变为K′,使 G(o)H(o)减小。因模减小,相位不变,曲圈8.1系缭校正改善性能示意图 线①变为曲线②,而不包围(-1,j0)点,这样系统 就稳定了。但是,减小K会使系统的稳态误差增大,这是不希望的,甚至是不允许的。另 一种方法是在原系统中增加新的环节,使奈氏轨迹在某频率范围(如O1至O2内)发生变化, 例如从曲线①变为曲线③,使原来不稳定的系统变为稳定系统,而且并不改变K值,即不

自动控制系统及应用 206 第八章 自动控制系统的校正 前已论及，控制系统是为完成特定任务而设置的一系列元件的组合。为完成既定任务， 需对控制系统提出要求，通常以性能指标来表示，这些指标常常与精度、相对稳定性和响应 速度等有关。当系统通过调整参数（如增益）也不能全面满足性能指标要求时，就需对系统 进行校正。 本章将首先介绍系统校正的有关概念，接着介绍串联校正中的相位超前校正、相位滞后 校正、相位滞后—超前校正和 PID 校正，以及反馈校正和顺馈补偿。应掌握各种校正的特点， 对系统性能的影响及其实现的方法。 8.1 系统的校正 8.1.1 校正的含义 一个系统的性能指标总是根据它所要完成的具体任务规定的。一般情况下，几个性能指 标的要求往往是矛盾的，例如，增大开环增益能减小稳态误差，但又会影响系统的瞬态响应， 甚至破坏系统的稳定性。也就是说，仅仅依靠调整参数，并不一定能使系统全面地满足性能 指标的要求。此时，可在原有系统中，有目的地增添一些装置或元件，使系统全面地满足性 能指标的要求。我们把这种在系统中增加新的环节，以改善系统性能的方法称为对系统进行 校正。新增的环节（或装置）称为校正环节（或校正装置）。 8.1.2 校正的实质 在原系统中，增加校正环节，必定会使系统的传递函数发生改变，导致系统零点和极点 的重新分布。适当地增加零点和（或）极点，可使系统满足期望的要求，以实现对系统进行 校正的目的。校正的实质就在于改变系统的零、极点分布，改变系统频率特性或根轨迹的形 状。 图 8.1 示出了系统校正改善性能的一个例子。 曲线①为开环右极点 p = 0 的系统的开环奈氏图， 由于奈氏轨迹包围了 ( 1, 0) − j 点，故相应的系统不 稳定。为了使系统稳定，可能的方法之一是减小 系统的开环增益 K ，即由 K 变 为 K ， 使 G j H j ( ) ( )   减小。因模减小，相位不变，曲 线①变为曲线②，而不包围 ( 1, 0) − j 点，这样系统 就稳定了。但是，减小 K 会使系统的稳态误差增大， 这是不希望的，甚至是不允许的。另 一种方法是在原系统中增加新的环节，使奈氏轨迹在某频率范围（如 1 至 2 内）发生变化， 例如从曲线①变为曲线③，使原来不稳定的系统变为稳定系统，而且并不改变 K 值，即不 图 8.1 系统校正改善性能示意图 ② 图10.1 系统校正改善性能示意图 1 ③ ① [GH] -1 2 0 =∞ Im Re =0

自动控制系统及应用 增大系统的稳态误差 图8.2给出了系统校正兼顾幅值与相位裕 量的另一个例子。曲线①为开环右极点p=0的 IGH] 系统的开环奈氏图,系统是稳定的。但是,相位 裕量太小,使系统的瞬态响应有很大的超调量 调整时间太长。对这样的系统,即使减小K 因相位裕量没有变化,系统的性能仍得不到全面 改善。只有加入新的环节,例如使奈氏轨迹变为 曲线②,即,使原来的特性在O1至O2频率区间 图8.2系统校正兼顾幅值与相位 产生正的相移,才能使系统的相位裕量得到明显 的提高,系统的性能得到改善 由此可见,从频率法的观点看,增加新的环节,主要是改变系统的频率特性的形状。 8.1.3校正方式 按照校正环节G(s)在系统中的联结方式不同,校正可分为串联校正、反馈校正和顺馈 校正等。 (1)串联校正校正环节G(S)串联在系统的前向通道中称为串联校正。如图8.3 所示。校正前系统的闭环传递函数为 1+G(s)H(S) G(s) 校正后,闭环传递函数为 G (SG(s) 图8.3串联校正 1+G(SG(S)H(s) 显然,零、极点都发生了变化。为了减小功率消耗,串联校正装置一般都放 在前向通道的前端,即低功率部分 (2)反馈校正校正环节G(S)联结在系统的局部反馈通道中,或者说,通过 G(s)增加一反馈回路。如图8.4所示。为保证局部回路的稳定,校正环节G。(S)所包围的 环节不宜太多(2个或是3个)。 Gid(s) 图8.4反馈校正 图8.5顺馈校正

自动控制系统及应用 207 增大系统的稳态误差。 图 8.2 给出了系统校正兼顾幅值与相位裕 量的另一个例子。曲线①为开环右极点 p = 0 的 系统的开环奈氏图，系统是稳定的。但是，相位 裕量太小，使系统的瞬态响应有很大的超调量， 调整时间太长。对这样的系统，即使减小 K ， 因相位裕量没有变化，系统的性能仍得不到全面 改善。只有加入新的环节，例如使奈氏轨迹变为 曲线②，即，使原来的特性在 1 至 2 频率区间 产生正的相移，才能使系统的相位裕量得到明显 的提高，系统的性能得到改善。 由此可见，从频率法的观点看，增加新的环节，主要是改变系统的频率特性的形状。 8.1.3 校正方式 按照校正环节 ( ) c G s 在系统中的联结方式不同，校正可分为串联校正、反馈校正和顺馈 校正等。 （1）串联校正 校正环节 ( ) c G s 串联在系统的前向通道中称为串联校正。如图 8.3 所示。校正前系统的闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s +  = 校正后，闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c G s G s H s G s G s s +  = 显然，零、极点都发生了变化。为了减小功率消耗，串联校正装置一般都放 在前向通道的前端，即低功率部分。 （2）反馈校正 校正环节 ( ) c G s 联结在系统的局部反馈通道中，或者说，通过 ( ) c G s 增加一反馈回路。如图 8.4 所示。为保证局部回路的稳定，校正环节 ( ) c G s 所包围的 环节不宜太多（2 个或是 3 个）。 图 图10.2 系统校正兼顾幅值与相位 8.2 系统校正兼顾幅值与相位 =∞ ② 1 ① 0 2 Im 1 Re [GH] 图 8.3 串联校正 图10.3 串联校正 + - c 图 8.5 顺馈校正 - 图10.5 顺馈校正 + c + + 图 图 8.4 反馈校正 10.4 反馈校正 - + + - 1 2 1 2 c 2

自动控制系统及应用 (3)顺馈校正 通过校正环节G(s)增加一条前向通道。如图8.5所示。顺馈校正亦称顺馈补偿。根据 补偿采样信号源的不同,又分为输入顺馈补偿和扰动顺馈补偿。图8.5为输入顺馈补偿方式。 顺馈校正既可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统,也可单独用于开环控制。 8.2串联校正 串联校正指校正环节G(s)串联在原系统的前向通道中,如图8.3所示 串联校正按校正环节的性质可分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正及相位滞后 超前校正 在这几种串联校正中,增益调整的实现比较简单。例如,在液压随动系统中,提高供油 压力,即可实现调整増益。但是,仅仅调整増益,难以同时满足静态和动态性能指标,其校 正作用有限,还需采用其他校正方法。本节主要介绍由电阻、电容构成的无源的三种(即超 前、滞后、滞后一超前)校正线路、数学模型及其在系统中起的作用,并举例说明用波德图 分析计算串联校正装置的方法。 8.2.1相位超前校正 图8.6所示的RC超前网络,其传递函数为 G(s) U。(s)TS+1 k ui (t) 式中T=Rc,a=、 R1 图8.6RC超前网络 其频率特性为 G。(j j7+1 0) U O)=a ia to+l (8.2) U Go) 相频特性为 ZG(o= (o)=arctan To-arctan aTo 可见相位超前。它的幅频特性为 1+(7o) 将G(jo)分为虚部v和实部a,可求得 1+a

自动控制系统及应用 208 （3）顺馈校正 通过校正环节 ( ) c G s 增加一条前向通道。如图 8.5 所示。顺馈校正亦称顺馈补偿。根据 补偿采样信号源的不同，又分为输入顺馈补偿和扰动顺馈补偿。图 8.5 为输入顺馈补偿方式。 顺馈校正既可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统，也可单独用于开环控制。 8.2 串联校正 串联校正指校正环节 ( ) c G s 串联在原系统的前向通道中，如图 8.3 所示。 串联校正按校正环节的性质可分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正及相位滞后 一超前校正。 在这几种串联校正中，增益调整的实现比较简单。例如，在液压随动系统中，提高供油 压力，即可实现调整增益。但是，仅仅调整增益，难以同时满足静态和动态性能指标，其校 正作用有限，还需采用其他校正方法。本节主要介绍由电阻、电容构成的无源的三种（即超 前、滞后、滞后一超前）校正线路、数学模型及其在系统中起的作用，并举例说明用波德图 分析计算串联校正装置的方法。 8.2.1 相位超前校正 图 8.6 所示的 RC 超前网络，其传递函数为 α 1 1 α ( ) ( ) ( ) i o c + + = = Ts Ts U s U s G s (8.1) 式中 T R c = 1 ， 2 1 2 1 R R R  =  + 其频率特性为 1 1 ( ) ( ) ( ) i o c + + = = jα Tω jTω α U jω U jω G jω (8.2) 相频特性为 Gc ( j) = () = arctanT − arctanT 可见相位超前。它的幅频特性为 2 2 c 1 ( ) 1 ( ) ( ) α Tω Tω G jω α + + = 将 ( ) Gc jω 分为虚部 v 和实部 u ，可求得 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 u v + −   − + = 图 8.6 RC 超前网络 图10.6 超前网络 1 i 2 o

自动控制系统及应用 可见,G(/)是经过点(1,j0),半径为一,圆心为 2,/0)的一个半 于∠G(jo)是正的,故为上半圆,如图8.7所示。 网络所提供的最大超前相角Q,则由 a 1+a (1+a) 图8.7超前校正环节奈氏图 可知,当a减小,φn增大 超前网络的波德图如图8.8所示。由图可见,超 前网络具有以下两个特点:一是始终提供超前相角;二是随O的减小,幅频也减小,即低 频衰减特性,所以,超前网络相当于一个高通滤波器。 对应于n的频率为n,n可如下求出: ap(o) =0,得 20lga (8.4) 显然gon=1h1 +gr),即φn发生在 图8.8超前网络波德图 两个转角频率_和的几何中点。 采用了上述相位超前校正后,由于在对数幅频特性上有20dB/dec段存在,故加大了系 统的穿越频率,谐振频率@与截止频率b,其结果是加大了系统的带宽,加快了系统的 响应速度;又由于产生了一定量的相位超前角,以补偿原系统中某些元件造成的过大的相角 滞后,这就有可能加大系统的相位裕量,结果是增大了系统的相对稳定性。 下面举例说明用波德图确定超前校正环节的方法及超前校正的作用 例8.1设有一控制系统如图8.9所示,若要使系统在 单位速度输入下的稳态误差es=0.05,相位裕量γ≥ 50°,幅值裕量20gK,≥10dB,试求系统的校正装 图8.9例8.1系统相图 置

自动控制系统及应用 209 可见， ( ) Gc jω 是经过点 (1, 0) j ，半径为 1 2 − ，圆心为 0) 2 1 α ( , j + 的一个半圆。又由 于 G ( jω)  c 是正的，故为上半圆，如图 8.7 所示。 网络所提供的最大超前相角  m ，则由 1 1 2 sin 1 1 2 m      − − = = + + （8.3) 可知，当  减小，  m 增大。 超前网络的波德图如图 8.8 所示。由图可见，超 前网络具有以下两个特点：一是始终提供超前相角；二是随  的减小，幅频也减小，即低 频衰减特性，所以，超前网络相当于一个高通滤波器。 对应于  m 的频率为 ωm ，ωm 可如下求出： 令 ( ) 0 ( )     =  ，得 αT ω 1 m = （8.4） 显然 ) 1 lg 1 (lg 2 1 lg m T T = +   ，即  m 发生在 两个转角频率 1 T 和 1 T 的几何中点。 采用了上述相位超前校正后，由于在对数幅频特性上有 20dB dec 段存在，故加大了系 统的穿越频率 ωc ，谐振频率 ωr 与截止频率 ωb ，其结果是加大了系统的带宽，加快了系统的 响应速度；又由于产生了一定量的相位超前角，以补偿原系统中某些元件造成的过大的相角 滞后，这就有可能加大系统的相位裕量，结果是增大了系统的相对稳定性。 下面举例说明用波德图确定超前校正环节的方法及超前校正的作用。 例 8.1 设有一控制系统如图 8.9 所示，若要使系统在 单位速度输入下的稳态误差 ess = 0.05 ，相位裕量  ≥ o 50 ，幅值裕量 Kg 20 lg ≥ 10 dB ，试求系统的校正装 置。 图 8.7 超前校正环节奈氏图 Im 1 1 0 Re 图10.7 超前校正环节奈氏图 (1+ ) 2 =0 m 1 2 (1- ) m =∞ 图 图 8.8 超前网络波德图 10.8 超前网络波德图 90° 0° m m 20lg 0 +20 1 1 图 8.9 例 8.1 系统框图 图10.9 例10.1系统框图 - + ( +2) 4

自动控制系统及应用 210 解:首先根据稳态误差的要求确定K值。由于系统开环传递函数 4K 2K s(s+2)s(0.5s+1) 显然这是个I型系统,有 0.05 2K 所以 =10 G(s) G(o) s(0.5s+1) jo(1+j0.50) 然后绘制系统的开环波德图,如图8.10 中的曲线①。由图可见,校正前系统的相位裕 量y=17°,幅值裕量大于10分贝,故系统是 稳定的,但γ<50°,相对稳定性不合要求 为了在不减小增益裕量的前提下,将相位裕量 从17提高到50°,需要采用超前校正环节进 行校正。接着确定所需要增加的相位超前角 d qn。为使y从17°提高到50°,二者相差的 33°当然应由超前校正环节提供。还应考虑超 图8.10超前校正前后的开环波德图 前校正环节会使系统的穿越频率ω右移,又会造成附加滞后相角,因此在考虑相位补偿量 时应再增加5°,因此取 50°-17°+5°=38° 根据n=38°,由公式(8.3)可确定衰减系数a, 1_sngm=0.24 sin p 下面确定超前校正环节的两个转角频率lT和laT。确定的思路是根据最大相位超前

自动控制系统及应用 210 解：首先根据稳态误差的要求确定 K 值。由于系统开环传递函数 (0 5 1) 2 ( 2) 4 ( ) + = + = s . s K s s K G s 显然这是个Ⅰ型系统，有 0.05 2 1 ss = = K e 所以 K =10 (0 5 1) 20 ( ) + = s . s G s ， (1 0 5 ) 20 ( ) jω j . ω G jω + = 然后绘制系统的开环波德图，如图 8.10 中的曲线①。由图可见，校正前系统的相位裕 量 ο  = 17 ，幅值裕量大于 10 分贝，故系统是 稳定的，但 ο   50 ，相对稳定性不合要求。 为了在不减小增益裕量的前提下，将相位裕量 从 ο 17 提高到 ο 50 ，需要采用超前校正环节进 行校正。接着确定所需要增加的相位超前角  m 。为使  从 ο 17 提高到 ο 50 ，二者相差的 ο 33 当然应由超前校正环节提供。还应考虑超 前校正环节会使系统的穿越频率 ωc 右移，又会造成附加滞后相角，因此在考虑相位补偿量 时应再增加 ο 5 ，因此取 o o o o  m = 50 − 17 + 5 = 38 根据 o  m = 38 ，由公式（8.3）可确定衰减系数  ， 0.24 1 sin 1 sin m m = + − =    下面确定超前校正环节的两个转角频率 1 T 和 1 T 。确定的思路是根据最大相位超前 图10.10 超前校正前后的开环波德图 ③ ③ 50° 2 -180°1 6 8 ① 4 s -1 40 17° 10 20 c 60 80 100 ② 0° -90° -40 90° c ① dB 20 -6dB -20 0 c v ② c 40 图 8.10 超前校正前后的开环波德图 例 8.1 系统框图