自动控制系统及应用 第三章系统的数学模型 硏究与分析一个系统,不仅要定性地了解系统的工作原理及其特点,而且更要定量地描述系统 的动态性能,揭系统的结构、参数与动态性能的关系。这就要建立系统的数学模型。也就是说, 建立系统的数学模型是硏究与分析系统的出发点,也是经典挎制论中常用的时域分析法、频率响应 法和根轨迹法赖以分析的基础。 无论是机械、电气、液压系统,还是热力系统等其他系统,般都可以用微分方程这一数学模 型加以描述。通过拉氏变换将系统微分方程转化为系统传递函数形式的数学模型,极有利于系统进 行深入研究、分析和校正。 当系统的数学模型能用线性徼分方程描述时,该系统称为线性系统。如果微分方程的系数为常 数,称该系统为线性定常系统。线性系统可以运用叠加定理,当有几个输入量同时作用于系统时, 可以逐个输入,求出对应的输出,然后把各个输出进行叠加,即为系统的总输出。当系统的数学模 型用非线性微分方程描述时,该系统称为非线性系统。它不能应用叠加原理。许多实际的物理系统 或多或少都存在一些非线性因素,但在一定范围内,经过线性化处理,可以用一个线性模型来研究 它的特性。 建立系统数学模型有两种方法:分析法和试騊法。所谓分析法就是根据系统和元件所遵循的有 关定律来推导出数学表达式,从而建立数学模型。如建立电网络的数学模型要根据欧姆定律、克希 荷夫定律:建立机械系统的数学模型要根据牛顿定律:建立电机的数芓模型要用到上述几种定律; 建立液压系统的数学模型,还要应用流体力学的有关定律等。实际上只有部分系统的数学模型,当 它们主要由简单的环节组成,方能根据机理分析推导而得,而相当多的系统,特别是复杂系统,涉 及的因素较多时,往往需要通过实验方法去建立数学模型,即根据实验数据进行整理,并拟和出比 较接近实际系统的数学模型。本章仅就分析法进行讨论。 建立一个系统的合理的数学模型并非是件容易的事,这需要对其元(部)件的结构原理、工作 机理等有足够的了解。所谓合理的数学模型是指它具有简化的形式,但又能正确地反映所描述系统 的特性 本章将着重阐明线性系统的传递函数的定义与概念:;介绍典型线性环节的传递函数及其特性 介绍传递函数方桕图与简化方法以及闭环控制系统传递函数的求取 3.1系统的微分方程 微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型。利用它可得到描述系统(或 元件)动态特性的其他形式的数学模型 3.1.1列写微分方程的一般方法 列写系统(或元件)的微分方程,目的在于确定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间 的函数关系,而系统是由各种元件组成的,因此列写方程的一般步骤如下。 (1)确定系统或元件的输入量、输岀量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量 而被控袆量则是输出量。对于一个环节或元件而言,应按系统信号传递情况来确定输入量、输出量。 (2)按照信号的传递顺序,从系统的输λ端开始,根琚各变量所遵循的运动规律,列写出在运 动过程中的各个环节的动态微分方程。列写时按工作条件,忽略一些次要因素,并考虑相邻元件间 是否存在负载效应。对非线性项应进行线性化处理。 (3)消除所列各微分方程的中间变量,得到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程。 (4)整理所得微分方程,一般将与输出量有关的各项放在方程左侧,与输入量有关的各项放在
自动控制系统及应用 94 第三章 系统的数学模型 研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特点，而且更要定量地描述系统 的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能的关系。这就要建立系统的数学模型。也就是说， 建立系统的数学模型是研究与分析系统的出发点，也是经典控制论中常用的时域分析法、频率响应 法和根轨迹法赖以分析的基础。 无论是机械、电气、液压系统，还是热力系统等其他系统，一般都可以用微分方程这一数学模 型加以描述。通过拉氏变换将系统微分方程转化为系统传递函数形式的数学模型，极有利于系统进 行深入研究、分析和校正。 当系统的数学模型能用线性微分方程描述时，该系统称为线性系统。如果微分方程的系数为常 数，称该系统为线性定常系统。线性系统可以运用叠加定理，当有几个输入量同时作用于系统时， 可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。当系统的数学模 型用非线性微分方程描述时，该系统称为非线性系统。它不能应用叠加原理。许多实际的物理系统 或多或少都存在一些非线性因素，但在一定范围内，经过线性化处理，可以用一个线性模型来研究 它的特性。 建立系统数学模型有两种方法：分析法和试验法。所谓分析法就是根据系统和元件所遵循的有 关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。如建立电网络的数学模型要根据欧姆定律、克希 荷夫定律；建立机械系统的数学模型要根据牛顿定律；建立电机的数学模型要用到上述几种定律； 建立液压系统的数学模型，还要应用流体力学的有关定律等。实际上只有部分系统的数学模型，当 它们主要由简单的环节组成，方能根据机理分析推导而得，而相当多的系统，特别是复杂系统，涉 及的因素较多时，往往需要通过实验方法去建立数学模型，即根据实验数据进行整理，并拟和出比 较接近实际系统的数学模型。本章仅就分析法进行讨论。 建立一个系统的合理的数学模型并非是件容易的事，这需要对其元（部）件的结构原理、工作 机理等有足够的了解。所谓合理的数学模型是指它具有简化的形式，但又能正确地反映所描述系统 的特性。 本章将着重阐明线性系统的传递函数的定义与概念；介绍典型线性环节的传递函数及其特性； 介绍传递函数方框图与简化方法以及闭环控制系统传递函数的求取。 3．1 系统的微分方程 微分方程是在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用它可得到描述系统（或 元件）动态特性的其他形式的数学模型。 3．1．1 列写微分方程的一般方法 列写系统（或元件）的微分方程，目的在于确定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间 的函数关系，而系统是由各种元件组成的，因此列写方程的一般步骤如下。 （1）确定系统或元件的输入量、输出量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量， 而被控制量则是输出量。对于一个环节或元件而言，应按系统信号传递情况来确定输入量、输出量。 （2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律,列写出在运 动过程中的各个环节的动态微分方程。列写时按工作条件，忽略一些次要因素，并考虑相邻元件间 是否存在负载效应。对非线性项应进行线性化处理。 （3）消除所列各微分方程的中间变量，得到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程。 （4）整理所得微分方程，一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在
自动控制系统及应用 方程的右侧,各阶导数项按降幂排列。 以下举例说明建立系统微分方程的步聚和方法 例31图3.1所示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络。试写出以输出电压l,和输 入电压1为变量的滤波网络的微分方程。 在该系统中,第二级电路(R2C2)将对第级电路(RC1)产生负载效应。即后一元件的存 在,影响前一元件的输出。如果只是独立地分别写出两个串联元件的微分方程,经过消去中间变量 而得出的微分方程,将是一个错误的结果。因此,在列写串联元件构成的系统微分方程时,应该氵 意其负载效应的问题。系统微分方程的列写步骤如下 (1)根据克希荷夫定律,可写出下列原始方程 R+(1-2)dt=l41 2R2 dt (1-l2)da Ca (2)消去中间变量和2后得到 RCRC22+(RC+RC+RC)=2+u,=u (3.1) 式(3.1)就是系统的微分方 但是,若孤立地分别写出RC1和R2C2这两个环节的微分方程,则对前一环节,有 I idr +i,R, 式中,为此时前一环节的输出与后一环节的蝓输入。对后环节,有 2d+l2R2=l2 (3.3) 消去中间变量,得到相应的微分方程为 RCC22+(C1+RC2)2+2= (34)
自动控制系统及应用 95 方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。 以下举例说明建立系统微分方程的步骤和方法。 例3.1 图3.1所示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络。试写出以输出电压 2 u 和输 入电压 1 u 为变量的滤波网络的微分方程。 在该系统中，第二级电路（ RC2 2 ）将对第一级电路（ RC1 1 ）产生负载效应。即后一元件的存 在，影响前一元件的输出。如果只是独立地分别写出两个串联元件的微分方程，经过消去中间变量 而得出的微分方程，将是一个错误的结果。因此，在列写串联元件构成的系统微分方程时，应该注 意其负载效应的问题。系统微分方程的列写步骤如下。 （1）根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程： 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 ( )d 1 1 d ( )d 1 d i R i i t u C i R i t i i t C C i t u C + − = + = − = （2）消去中间变量 1 i 和 2 i 后得到 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 ( ) d u du R C R C R C R C R C u u dt dt + + + + = （3.1） 式（3.1）就是系统的微分方程。 但是，若孤立地分别写出 RC1 1 和 RC2 2 这两个环节的微分方程，则对前一环节，有 1 1 1 1 1 * 2 1 1 1 d 1 d i t i R u C u i t C + = = （3.2） 式中， * 2 u 为此时前一环节的输出与后一环节的输入。对后一环节，有 * 2 2 2 2 2 2 2 2 1 d 1 d i t i R u C u i t C + = = （3.3） 消去中间变量，得到相应的微分方程为 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 ( ) d u du R C R C R C R C u u dt dt + + + = （3.4）
自动控制系统及应用 比较式(3.1)和(3.4),可知两者结果不同。式(3.2)~(3.4)未考虑负载效应,所以是错 误的。负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用,相邻环节的串联,应该考虑它们之间的负载效 应问题。只有当后一环节输入阻抗很大,对前面环节的输出影响可以忽略时,方可单独地分别列写 每个环节的微分方程。建议读者仔细思考一下这一点 3.2传递数 传递函数是经典控制理论中对线性系统进行分析、研究与综合的重要数学模型形式。它通过输 入与输出之间信息的传递关系,来描述系统本身的动态特性 3.2.1传递函数的定义 对于线性定常系统,当输入及输出的初始条件为零时,系统(或环节)的传递函数((s)定义 为输出量c()的拉氏变化与输入量n()的拉氏变化之比。即 LIc(o C(s) (3.5) L[r(o R(s) 由式(35)可得 C(S)=G(SR(s) 由上式可见,输入信号经系统(或环不节)传递后成为输出信号,也就是输入信号的象函数R(s) 乘上G(s)后,即得输出信号的象函数C(s),故称G(s)为传递函数 式(36)所表达的这种信息传递关系可以画成如图32所示的系统方框图。 (s) G(s) 图32信息传递的系统方梱图 3.2.2传递函数的求法 1.传递函数的般表达式 设线性定常系统(或环节)的运动微分方程式为 d"c(o dc(o +a +aoc(o) dr b d" r( dm-lr(o) 6-+bor(t) 在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换 (ans"+an1s-+…+a3s+a)C(s)=(bs"+bn-s"-+…+bs+b)R(s) 由此可得系统(或环节)的传递函数为
自动控制系统及应用 96 比较式（3.1）和（3.4），可知两者结果不同。式（3.2）～（3.4）未考虑负载效应，所以是错 误的。负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用，相邻环节的串联，应该考虑它们之间的负载效 应问题。只有当后一环节输入阻抗很大，对前面环节的输出影响可以忽略时，方可单独地分别列写 每个环节的微分方程。建议读者仔细思考一下这一点。 3．2 传递函数 传递函数是经典控制理论中对线性系统进行分析、研究与综合的重要数学模型形式。它通过输 入与输出之间信息的传递关系，来描述系统本身的动态特性。 3．2．1 传递函数的定义 对于线性定常系统，当输入及输出的初始条件为零时，系统（或环节）的传递函数 G(s) 定义 为输出量 c(t) 的拉氏变化与输入量 r(t) 的拉氏变化之比。即 ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) R s C s r t c t G s = = L L （3.5） 由式（3.5）可得 C(s) = G(s)R(s) （3.6） 由上式可见，输入信号经系统（或环节）传递后成为输出信号，也就是输入信号的象函数 R(s) 乘上 G(s) 后，即得输出信号的象函数 C(s) ，故称 G(s) 为传递函数。 式（3.6）所表达的这种信息传递关系可以画成如图3.2所示的系统方框图。 3．2．2 传递函数的求法 1．传递函数的一般表达式 设线性定常系统（或环节）的运动微分方程式为 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 d ( ) d ( ) d ( ) ( ) d d d d ( ) d ( ) d ( ) ( ) d d d n n n n n n m m m m m m c t c t c t a a a a c t t t t r t r t r t b b b b r t t t t − − − − − − + + + + = + + + + (3.7） 在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换 1 1 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m n n m m a s a s a s a C s b s b s b s b R s − − + + + + = + + + + − − 由此可得系统（或环节）的传递函数为 图5.1 (s) (s) (s) 图 3.2 信息传递的系统方框图
自动控制系统及应用 ()bs"+bh-sm+…+ s+ G(s)= (3.8) R(s) 由此可知,只要知道系统(或不节)的微分方程,通过拉氏变换就可以很容易求其传递函数。 2.机械系统 设有一个弹簧质量阻尼器系统,如图33所示。阻尼 器是一种产生粘性摩擦或阻尼的装置。它所产生的阻尼力与其 k 活塞和缸体之间的相对运动速度成正比,比例系数为粘性阻尼 系数B。并设弹簧为线性弹簧,k表示弹簧刚度。在外力f()的 输入作用下,质量为m的质量块产生了输出位移y(),求该系 统的传递函 首先根据牛顿定律列出该系统的微分方程 d y(o() d2+B. +ky()=f(1)(39 然后,在初始条件为零时,对式(39)取拉氏变换,得出 图33弹簧质阻尼器系 (ms +Bs+kr(s=F(s) 最后得系统传递函数为 Y(s F(s) ms-+ Bs+k 图3.3所示电路,由电感L电阻R和 000 电容C组成,常称L-R-C电路。应用克希 荷夫定律,可得到下列方程: L-+ ri dt idt= u (3.10) 图34L一R-C电路 假设初始条件为零,对式(3.10)进行拉氏变换,得 LSI(s)+RI(s) U。(s)=l(s) 如果设输入量为1,输出量为a,则系统的传递函数为 G(s) U。(s) (3.11) ( s) LCs+ RCs+I
自动控制系统及应用 97 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n C s b s b s b s b G s R s a s a s a s a − − − − + + + + = = + + + + （3.8） 由此可知，只要知道系统（或环节）的微分方程，通过拉氏变换就可以很容易求其传递函数。 2．机械系统 设有一个弹簧—质量—阻尼器系统，如图3.3所示。阻尼 器是一种产生粘性摩擦或阻尼的装置。它所产生的阻尼力与其 活塞和缸体之间的相对运动速度成正比，比例系数为粘性阻尼 系数B。并设弹簧为线性弹簧， k 表示弹簧刚度。在外力 f (t) 的 输入作用下，质量为 m 的质量块产生了输出位移 y(t) ，求该系 统的传递函数。 首先根据牛顿定律列出该系统的微分方程 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d y t y t m B ky t f t t t + + = （3.9） 然后，在初始条件为零时，对式（3.9）取拉氏变换，得出 2 ( ) ( ) ( ) ms Bs k Y s F s + + = 最后得系统传递函数为 2 ( ) 1 ( ) ( ) Y s G s F s ms Bs k = = + + 3．L－R－C电路 图3.3所示电路，由电感L、电阻R和 电容C组成，常称L－R－C电路。应用克希 荷夫定律，可得到下列方程： i o d 1 d d 1 d i L Ri i t u t C u i t C + + = = （3.10） 假设初始条件为零，对式（3.10）进行拉氏变换，得 i o 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) LsI s RI s I s U s Cs U s I s Cs + + = = 如果设输入量为 i u ，输出量为 o u ，则系统的传递函数为 o 2 i ( ) 1 ( ) ( ) 1 U s G s U s LCs RCs = = + + （3.11） 图5.2 图 3.3 弹簧—质量—阻尼器系统 图 3.4 L－R－C电路 C 图5.3
自动控制系统及应用 4.应用复阻抗求电网络传递函数 在推导电网络的传递函数时,不写出微分方程,而直接写出拉氏变换式,常常是比较方便的。 如果电网络如图35(a)所示,设初始条件为零,电路两喘间电压的拉氏变换为U(s),通过元件的 电流的拉氏变换为(s),那么二端电路的复阻抗z(s)就等于U(s)与I(s)之比,即 z(s)=U(s)/(s)。如果二端电路的元件是电阻R、电容C和电感L,那么它们的复阻抗分别为 R、lCs和Ls。如果复阻抗彼此串联连接,总的复阻抗就等于各单个复阻抗之和。如果并联连接, 等效复阻抗的计算就如同电阻并联求等效电阻的计算方法·样 图35电网络图 对于图35(b)所示电路,假设电压l1和u。分别为电路的输入量和输出量,则电路的传递函 数为 G(s)= 22(s) z1(s)+22(s) 对于图34所示电路Z1(s)=Ls+R,Z2(s) 因此,传递函数可求得为 G(s)=Uo(s)=-Cs U1(s) Ls+r+ 1 LCs2+ Rs+1 显然,这个结果与式(311)是完全相同的。 同样,在求由运算放大器构成的各种调节器的传递函数时,应用复阻抗将十分快捷、方便。请 读者作为道习题完成 3.2.3传递函数的性质 传递函数具有以下性质 1.传递函数只与系统本身内部结构、参数有关,而与输入量等外部因素无关。因此传递函数 描述了系统的固有特性,即它代表了系统的内在动态特性。是一种用象函数来描述系统的数学模型, 称为系统的复数域的数学模型 2.传递函数是种运算函数。若输入已经给定,则系统的输出完全取决于其传递函数。由式 (36)邇过拉氏反变换,便可求得系统(或环节)时域的输出,即
自动控制系统及应用 98 4．应用复阻抗求电网络传递函数 在推导电网络的传递函数时，不写出微分方程，而直接写出拉氏变换式，常常是比较方便的。 如果电网络如图3.5（a）所示，设初始条件为零，电路两端间电压的拉氏变换为 U(s) ，通过元件的 电流的拉氏变换为 I(s) ，那么二端电路的复阻抗 Z(s) 就等于 U(s) 与 I(s) 之比，即 Z(s) =U(s) I(s) 。如果二端电路的元件是电阻 R、电容 C 和电感 L，那么它们的复阻抗分别为 R、1 Cs 和 Ls 。如果复阻抗彼此串联连接，总的复阻抗就等于各单个复阻抗之和。如果并联连接， 等效复阻抗的计算就如同电阻并联求等效电阻的计算方法一样。 对于图 3.5（b）所示电路，假设电压 i u 和 o u 分别为电路的输入量和输出量，则电路的传递函 数为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 i o Z s Z s Z s U s U s G s + = = （3.12） 对于图3.4所示电路 Z1 (s) = Ls + R ， Cs Z s 1 ( ) 2 = 因此，传递函数可求得为 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 i O + + = + + = = LCs RCs Cs Ls R Cs U s U s G s 显然，这个结果与式（3.11）是完全相同的。 同样，在求由运算放大器构成的各种调节器的传递函数时，应用复阻抗将十分快捷、方便。请 读者作为一道习题完成。 3．2．3 传递函数的性质 传递函数具有以下性质。 1．传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，而与输入量等外部因素无关。因此传递函数 描述了系统的固有特性，即它代表了系统的内在动态特性。是一种用象函数来描述系统的数学模型， 称为系统的复数域的数学模型。 2．传递函数是一种运算函数。若输入已经给定，则系统的输出完全取决于其传递函数。由式 （3.6）通过拉氏反变换，便可求得系统（或环节）时域的输出，即 图 3.5 电网络图 1 i 2 o 图5.4