自动控制系统及应用 LL(t-t)=。f(t-r)e"dt f(ue f(ue du f(O 图24延迟函数 图2.5方波 可见,比f(1)延迟r的f(m)的象函数只要把∫()的象函数F(s)乘以e“即可求得 例22求图25所示方波的拉氏变换。 解:方波可表达为 L[f()= 223复数域的位移性质(平移定理) 若L[f()=F(s),对任一常数a,有 LIe f(o= F(s+a) 证明:由定义出发 LIe"f()=J。efo)e"dt f(o)e (+a) d t 可见,原函数∫(1)乘以e“时,它的象函数只需将F(s)中的s用(s+a)代替即可。 例23求 e sin ot的拉氏变换 解:直接运用复数域的位移定理可得 Le
自动控制系统及应用 82 0 ( ) 0 0 [ ( )] ( )e d ( )e d e ( )e d e ( ) L st s u s su s f t f t t f u u f u u F s + − + − + + − − − − = − = = = 可见，比 f t() 延迟 的 1 f t() 的象函数只要把 f t() 的象函数 F(s) 乘以 e −s 即可求得。 例 2.2 求图 2.5 所示方波的拉氏变换。 解：方波可表达为 1( ) 1 1( ) 1 ( ) = − t − T t T f t 1 1 1 L[ ( )] e (1 e ) sT sT f t Ts Ts Ts − − = − = − 2.2.3 复数域的位移性质(平移定理) 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，对任一常数 a ，有 L[e ( )] ( ) at f t F s a − = + （2.12） 证明：由定义出发 0 ( ) 0 [e ( )] e ( ) e d ( ) e d ( ) L at at st s a t f t f t t f t t F s a + − − − + − + = = = + 可见，原函数 f t() 乘以 at e − 时，它的象函数只需将 F s( ) 中的 s 用 ( ) s a + 代替即可。 例 2.3 求 sin at e t − 的拉氏变换。 解：直接运用复数域的位移定理可得 2 2 [e sin ] ( ) L at t s a − = + + 图 2.4 延迟函数 0 图4.4 延迟函数 1 图 2.5 方波 1/ 0 图4.5 方波
自动控制系统及应用 同理,可求得 s+a LIe cos ot] L[e-·r"] (n=1,2,3,…,) 224相似性质 若L[f(t)=F(s),如将∫(1)波形相对于时间轴t进行压缩(或伸长)a倍,成为 f(t/a) Lff(/a)]=aF(as) (2.13) 证明: Li(/a)]=f(/a)e"dt y=x,则 t=ar dt=ad z LU(/a)]=/(/a)e"dr d。f(r)emd aF(as) 上式表明,当原函数f(t)的自变量t变化1a时,则它对应的象函数F(S)及变量s按 比例变化a倍。 225原函数导数的象函数(微分定理) 若Lf(t)=F(s),则导数f()的象函数为: L[,f()]=sF(s)-f(0) (2.14) 式中f(0)是当t=0时函数f(1)的值,即原函数的初始条件 证明: L[,f(l)= +m d f(e-s dt 利用分部积分公式[vdv=y 令u=e”,=f(1,有
自动控制系统及应用 83 同理，可求得 2 2 [e cos ] ( ) L at s a t s a − + = + + 1 ! [e ] ( ) L at n n n t s a − + = + ( 1,2,3, ,) n = 2.2.4 相似性质 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，如将 f t() 波形相对于时间轴 t 进行压缩（或伸长） a 倍，成为 f t a ( )， 则 L[ ( )] ( ) f t a aF as = （2.13） 证明： 0 L[ ( )] ( )e d st f t a f t a t + − = 令 t a = ,则 t a t a = = ,d d 0 0 [ ( )] ( )e d ( )e d ( ) L st sa f t a f t a t a f aF as + − + − = = = 上式表明，当原函数 f t() 的自变量 t 变化 1 a 时，则它对应的象函数 F s( ) 及变量 s 按 比例变化 a 倍。 2.2.5 原函数导数的象函数(微分定理) 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则导数 d ( ) d f t t 的象函数为： L[ ( )] ( ) (0) d f t sF s f dt = − （2.14） 式中 f (0) 是当 t = 0 时函数 f t() 的值，即原函数的初始条件。 证明： 0 d ( ) [ ( )] e d d L d f t st f t t dt t + − = 利用分部积分公式 u v uv v u d d = − 令 e , ( ), st u v f t − = = 有