三、线性定常系统状态方程的解 1、齐次状态方程的解 齐次向量微分方程 X=AX (9-28) 方程的解为 x(t)=b+b1t+b2t2+…+bt+… 式中b(=0,1,2…) (9-29) 均为列向量
26 三、线性定常系统状态方程的解 式中 bi (i = 0,1,2) 均为列向量。 x Ax = （9-28） 齐次向量微分方程 x(t) = b0 + b1 t + b2 t 2 ++ bk t k + （9-29） 方程的解为 1、齐次状态方程的解
将Xx()代入方程=Ax 可得 b1+2b21+…+kb+…=4(b+b1+…+b1+…) 方程两边系数必相等,即 6=46 1 Ab Ab 3 3×2 b,=Ak6 27 k
27 2 ( ) 0 1 1 b1 + b2 t ++ k bk t k− += A b + b t ++ bk t k + 可得 将 x( )t 代入方程 x Ax = 方程两边系数必相等, 即 1 0 2 2 1 0 3 3 2 0 0 1 1 2 2 1 1 3 3 2 1 k k b Ab b Ab A b b Ab A b b A b k = = = = = = ！
将t=0代入(9-29)中得 x(0)=b 因此,齐次状态方程的解为 x(t)=(+At+,At2+…+,A k k! (9-31) 我们定义 e=Ⅰ+At+A2t2+.+1Atk+ 2! k! (9-32) 28
28 0 x(0) = b 我们定义 0 2 2 ) 1 2 1 ( ) ( A t x k x t I At A t = + + ++ k k + ！ ！ （9-31） A t = + + ++ A K t k + k e I At A t ！ ！ 1 2 1 2 2 （9-32） 因此，齐次状态方程的解为 将 t=0 代入（9-29）中得
e为n×n矩阵,称矩阵指数 于是齐次状态方程的解为 x(t)=exo (9-33) 用拉氏变换法求解 x(t=Ax(t) (9-34) sx(s)-xo=Ax(s) (9-35)
29 0 x(t) e x At = （9-33） x t Ax t ( ) ( ) = （9-34） ( ) ( ) 0 sx s − x = Ax s （9-35） At e 为n×n矩阵，称矩阵指数。 于是齐次状态方程的解为 用拉氏变换法求解
x(s)=(sl-A)Xo (9-37) 拉氏反变换后得到 x()=L[(s-A)]x (9-38) e=L (sl-a A)=e]=LI+A+…+At+ k! k ·· k+1
30 0 1 x(s) (sI A) x − = − 0 1 1 x(t) L [(sI A) ]x − − = − [( ) ] −1 −1 e = L sI − A At 1 2 2 3 1 1 ( ) [ ] [ ] At k k k k sI A L e L I At A t k I A A A s s s s − + − = = + + + + = + + + + + ！ 拉氏反变换后得到 （9-37） （9-38）