同理,由AB=O知,BA=O,于是有B的列向量组,从而B的行向量组线性相关,故应选(A) 【评注】AB=O是常考关系式,一般来说,与此相关的两个结论是应记住的 1)AB=O→r(A)+r(B)<n 2)AB=O→B的每列均为Ax=0的解。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11,《数学一临考演习》P79第4题,《考研数学大串讲〉P173 例8,P184例27 (13)设随机变量Ⅹ服从正态分布NQ1),对给定的a(0<a<1),数a满足P{X>ua}=a,若 PX<x}=a,则x等于 I C 【分析】此类问题的求解,可通过l的定义进行分析,也可通过画出草图,直观地得到结论 【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{X<-a}=a,于是 1-a=1-PX<x=P2x}=P{X2x+P≤一x}=2PX2x 即有P{X≥x} 可见根据定义有x=l1-a,故应选(C 【评注】本题l相当于分位数,直观地有 (1-a)/2 此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过 (14)设随机变量X1X2,…,Xn(m>1)独立同分布,且其方差为a>0.令y X;,则 (A)Cov( X,Y) (B) Cov(X,r) n+2 (C)D(X1+Y)= (D)D(X1-1)= 【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意利用独立性有 on(X1,X2)=0,i=2,3,…n 【详解】Cox1、Y) nl 1-.cov((x1,x1)+ lS Cov(X,X,) n
6 同理，由 AB=O 知， B A O T T = ，于是有 T B 的列向量组，从而 B 的行向量组线性相关，故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O r(A) + r(B) n ; 2） AB=O B 的每列均为 Ax=0 的解。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P110 例 10-11，《数学一临考演习》P79 第 4 题,〈考研数学大串讲〉P173 例 8, P184 例 27。 （13）设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的 (0 1) ，数 u 满足 P{X u} = ，若 P{ X x} = ，则 x 等于 (A) 2 u . (B) 2 1 − u . (C) 2 1− u . (D) u1− . [ C ] 【分析】 此类问题的求解，可通过 u 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知， P{X −u} = ，于是 1− =1− P{ X x} = P{ X x} = P{X x}+ P{X −x} = 2P{X x} 即有 2 1 { } − P X x = ，可见根据定义有 2 = 1− x u ，故应选(C). 【评注】 本题 u 相当于分位数，直观地有 (1−)/ 2 o u 2 1− u 此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过. （14）设随机变量 , , , ( 1) X1 X2 Xn n 独立同分布，且其方差为 0. 2 令 = = n i Xi n Y 1 1 ，则 (A) Cov( , ) . 2 1 n X Y = (B) 2 1 Cov(X ,Y) = . (C) 2 1 2 ( ) n n D X Y + + = . (D) 2 1 1 ( ) n n D X Y + − = . [ A ] 【 分 析 】 本 题 用 方 差 和 协 方 差 的 运 算 性 质 直 接 计 算 即 可 ， 注 意 利 用 独 立 性 有 ： ( , ) 0, 2,3, . Cov X1 Xi = i = n 【详解】 Cov( = = = = + n i i n i i Cov X X n Cov X X n X n X Y Cov X 2 1 1 1 1 1 1 ( , ) 1 ( , ) 1 ) 1 , ) (
n 【评注】本题(C)D)两个选项的方差也可直接计算得到:如 D(X1+Y)=D(x1+-X2+…+-Xn) n2+3n n+3 0= D(X1-1)=D(X (n-1) 完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题(本题是第23题的特殊情况) (15)(本题满分12分) 设e<a<b<e2,证明h2b-hn2a> 【分析】根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明 【证法1】对函数h2x在ab]上应用拉格朗日中值定理,得 2In In6-In (b-a,a<5 5 In t 1-In t 设(D) 则q'(1) 当te时,φ'(1)<0,所以p(t)单调减少,从而(2)>(e2),即 hn5、he 故hb-na>-2(b-a) 【证法2】设叫(x)=h2x4x,则 1-In x q"(x)=2 所以当x>e时,(x)<0,故p(x)单调减少,从而当e<x<e2时, 44 q(x)>q)(e)= 即当e<x<e2时,g(x)单调增加
7 = . 1 1 2 1 n DX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如 2 2 2 2 2 1 1 2 (1 ) 1 ) 1 1 1 ( ) ( n n n n X n X n X n n D X Y D n − + + + + + = + + = = 2 2 2 2 3 3 n n n n n + = + ， 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) 1 ) 1 1 1 ( ) ( n n n n X n X n X n n D X Y D n − + − − − − = − − = = . 2 2 2 2 2 2 n n n n n − = − 完全类似的例题见《数学一临考演习》P78 第 23 题（本题是第 23 题的特殊情况）. （15）（本题满分 12 分） 设 2 e a b e , 证明 ( ) 4 ln ln 2 2 2 b a e b − a − . 【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法 1】 对函数 x 2 ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 ( ), . 2ln ln ln 2 2 b − a = b − a a b 设 t t t ln ( ) = ，则 2 1 ln ( ) t t t − = ， 当 t>e 时， (t) 0, 所以 (t) 单调减少，从而 ( ) ( ) 2 e ，即 2 2 2 ln ln 2 e e e = ， 故 ( ) 4 ln ln 2 2 2 b a e b − a − . 【证法 2】 设 x e x x 2 2 4 ( ) = ln − ，则 2 ln 4 ( ) 2 x e x x = − ， 2 1 ln ( ) 2 x x x − = , 所以当 x>e 时， (x) 0, 故 (x) 单调减少，从而当 2 e x e 时， 0 4 4 ( ) ( ) 2 2 2 = − = e e x e ， 即当 2 e x e 时， (x) 单调增加