3.1节：矩阵的三角分解 定义3.1.2 设A是m×n复（实）矩阵，若rankA=m,则称A是行满秩矩阵，记 为A∈Cmxn(Rmxn):设A是m×n复（实）矩阵，若rankA=n,则称 A是列满秩矩阵，记为A∈Cx(R”xn) 定理3.1.2 (1)若A∈Cmxn,则存在m阶正线下三角复矩阵L和n阶酉矩阵U, 使得A=(LO)U: 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月12/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 定义 3.1.2 设 A 是 m × n 复 (实) 矩阵，若 rankA = m，则称 A 是行满秩矩阵，记 为 A ∈ C m×n m (R m×n m )；设 A 是 m × n 复 (实) 矩阵，若 rankA = n，则称 A 是列满秩矩阵，记为 A ∈ C m×n n (R m×n n ). 定理 3.1.2 (1) 若 A ∈ C m×n m ，则存在 m 阶正线下三角复矩阵 L 和 n 阶酉矩阵 U， 使得 A = (L O)U； (2) 若 A ∈ C m×n n ，则存在 n 阶正线上三角复矩阵 R 和 m 阶酉矩阵 U， 使得 A = U R O . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 12 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 定义3.1.2 设A是m×n复（实）矩阵，若rankA=m,则称A是行满秩矩阵，记 为A∈Cmxn(Rmxn):设A是m×n复（实）矩阵，若rankA=n,则称 A是列满秩矩阵，记为A∈Cxn(R×n) 定理3.1.2 (1)若A∈Cmxn,则存在m阶正线下三角复矩阵L和n阶酉矩阵U, 使得A=(LO)U: (2)若A∈CT×n 则存在n阶正线上三角复矩阵R和m阶酉矩阵U, 使得A=( 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月12/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 定义 3.1.2 设 A 是 m × n 复 (实) 矩阵，若 rankA = m，则称 A 是行满秩矩阵，记 为 A ∈ C m×n m (R m×n m )；设 A 是 m × n 复 (实) 矩阵，若 rankA = n，则称 A 是列满秩矩阵，记为 A ∈ C m×n n (R m×n n ). 定理 3.1.2 (1) 若 A ∈ C m×n m ，则存在 m 阶正线下三角复矩阵 L 和 n 阶酉矩阵 U， 使得 A = (L O)U； (2) 若 A ∈ C m×n n ，则存在 n 阶正线上三角复矩阵 R 和 m 阶酉矩阵 U， 使得 A = U R O . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 12 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 证：(1)因为A的秩为m,所以A的m个行向量a1,a2,·,am线性无 关且m≤n. 口+4①·左·生生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月13/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 证：(1) 因为 A 的秩为 m, 所以 A 的 m 个行向量 α1, α2, · · · , αm 线性无 关且 m ≤ n. 从而可在线性空间 C n 中选取向量组 αm+1, αm+2, · · · , αn 使得 α1, α2, · · · , αn 线性无关. 类似于定理 1 的证明，将 α1, α2, · · · , αn 斯密特正交化、单位化得标准 正交向量组 β1, β2, · · · , βn. 于是有 其中 L 为 m 阶正线下三角复矩阵和 U 为 n 阶酉矩阵. 类似地可证明 (2) 成立. 我们用 U m×n m 表示以 m 个两两正交的单位行向量组成的矩阵的集合， 用 U m×n n 表示以 n 个两两正交的单位列向量组成的矩阵的集合. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 13 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 证：(1)因为A的秩为m,所以A的m个行向量a1,a2,·,am线性无 关且m≤n. 从而可在线性空间C中选取向量组am+1,am+2,·,an使得 a1,a2,…·,an线性无关 口卡+①三·是空Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月13/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 证：(1) 因为 A 的秩为 m, 所以 A 的 m 个行向量 α1, α2, · · · , αm 线性无 关且 m ≤ n. 从而可在线性空间 C n 中选取向量组 αm+1, αm+2, · · · , αn 使得 α1, α2, · · · , αn 线性无关. 类似于定理 1 的证明，将 α1, α2, · · · , αn 斯密特正交化、单位化得标准 正交向量组 β1, β2, · · · , βn. 于是有 其中 L 为 m 阶正线下三角复矩阵和 U 为 n 阶酉矩阵. 类似地可证明 (2) 成立. 我们用 U m×n m 表示以 m 个两两正交的单位行向量组成的矩阵的集合， 用 U m×n n 表示以 n 个两两正交的单位列向量组成的矩阵的集合. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 13 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 证：(1)因为A的秩为m,所以A的m个行向量a1,a2,·,am线性无 关且m≤n. 从而可在线性空间C中选取向量组am+1,Qm+2,·,an使得 a1,2,·,an线性无关 类似于定理1的证明，将a1,a2,·,an斯密特正交化、单位化得标准 正交向量组31，B2,·,Bn 4口+40在色是QC 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月13/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 证：(1) 因为 A 的秩为 m, 所以 A 的 m 个行向量 α1, α2, · · · , αm 线性无 关且 m ≤ n. 从而可在线性空间 C n 中选取向量组 αm+1, αm+2, · · · , αn 使得 α1, α2, · · · , αn 线性无关. 类似于定理 1 的证明，将 α1, α2, · · · , αn 斯密特正交化、单位化得标准 正交向量组 β1, β2, · · · , βn. 于是有 其中 L 为 m 阶正线下三角复矩阵和 U 为 n 阶酉矩阵. 类似地可证明 (2) 成立. 我们用 U m×n m 表示以 m 个两两正交的单位行向量组成的矩阵的集合， 用 U m×n n 表示以 n 个两两正交的单位列向量组成的矩阵的集合. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 13 / 61