3.1节：矩阵的三角分解 再证唯一性.若A有两种分解式，即 A=RHR=R2HR2 4口+4四·左·是·是Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月11/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 再证唯一性. 若 A 有两种分解式，即 A = R1 HR1 = R2 HR2 于是 R2R −1 1 H = R1R −1 2 . 由于上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩 阵，因而上式左端是下三角矩阵，右端是上三角矩阵， 因此 R2R −1 1 H = R1R −1 2 是对角矩阵. 因为上三角矩阵的逆矩阵的对角元是原上三角矩阵的对角元的倒数，两 个上三角矩阵的乘积矩阵的对角元是两个上三角矩阵的对角元的乘积， 所以 R1R −1 2 = En，即 R1 = R2 . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 11 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 再证唯一性.若A有两种分解式，即 A=RHRI=R2HR2 于是 (RR=R1R1 口卡①·左·生·生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月11/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 再证唯一性. 若 A 有两种分解式，即 A = R1 HR1 = R2 HR2 于是 R2R −1 1 H = R1R −1 2 . 由于上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩 阵，因而上式左端是下三角矩阵，右端是上三角矩阵， 因此 R2R −1 1 H = R1R −1 2 是对角矩阵. 因为上三角矩阵的逆矩阵的对角元是原上三角矩阵的对角元的倒数，两 个上三角矩阵的乘积矩阵的对角元是两个上三角矩阵的对角元的乘积， 所以 R1R −1 2 = En，即 R1 = R2 . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 11 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 再证唯一性.若A有两种分解式，即 A=RHR=R2HR2 于是 (R2RH=R1R1 由于上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩 阵，因而上式左端是下三角矩阵，右端是上三角矩阵， 因此(RR)H=RR是对角矩阵， 4口+4四，，左·生·是Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月11/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 再证唯一性. 若 A 有两种分解式，即 A = R1 HR1 = R2 HR2 于是 R2R −1 1 H = R1R −1 2 . 由于上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩 阵，因而上式左端是下三角矩阵，右端是上三角矩阵， 因此 R2R −1 1 H = R1R −1 2 是对角矩阵. 因为上三角矩阵的逆矩阵的对角元是原上三角矩阵的对角元的倒数，两 个上三角矩阵的乘积矩阵的对角元是两个上三角矩阵的对角元的乘积， 所以 R1R −1 2 = En，即 R1 = R2 . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 11 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 再证唯一性.若A有两种分解式，即 A=RHRI=R2HR2 于是 (R2RH=R1R1 由于上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩 阵，因而上式左端是下三角矩阵，右端是上三角矩阵， 因此(R2R)H=RE是对角矩阵。 因为上三角矩阵的逆矩阵的对角元是原上三角矩阵的对角元的倒数，两 个上三角矩阵的乘积矩阵的对角元是两个上三角矩阵的对角元的乘积， 所以R1R=En,即R1=R2 是Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月11/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 再证唯一性. 若 A 有两种分解式，即 A = R1 HR1 = R2 HR2 于是 R2R −1 1 H = R1R −1 2 . 由于上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩 阵，因而上式左端是下三角矩阵，右端是上三角矩阵， 因此 R2R −1 1 H = R1R −1 2 是对角矩阵. 因为上三角矩阵的逆矩阵的对角元是原上三角矩阵的对角元的倒数，两 个上三角矩阵的乘积矩阵的对角元是两个上三角矩阵的对角元的乘积， 所以 R1R −1 2 = En，即 R1 = R2 . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 11 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 定义3.1.2 设A是m×n复（实）矩阵，若rankA=m,则称A是行满秩矩阵，记 为A∈Cmxn(Rmxn):设A是m×n复（实）矩阵，若rankA=n,则称 A是列满秩矩阵，记为A∈Cmxn(Rxn) 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月12/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 定义 3.1.2 设 A 是 m × n 复 (实) 矩阵，若 rankA = m，则称 A 是行满秩矩阵，记 为 A ∈ C m×n m (R m×n m )；设 A 是 m × n 复 (实) 矩阵，若 rankA = n，则称 A 是列满秩矩阵，记为 A ∈ C m×n n (R m×n n ). 定理 3.1.2 (1) 若 A ∈ C m×n m ，则存在 m 阶正线下三角复矩阵 L 和 n 阶酉矩阵 U， 使得 A = (L O)U； (2) 若 A ∈ C m×n n ，则存在 n 阶正线上三角复矩阵 R 和 m 阶酉矩阵 U， 使得 A = U R O . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 12 / 61