3.1节：矩阵的三角分解 再证分解的唯一性.设A=U11R1=山12R2.其中U11,U12都是酉矩阵 R1,R都是正线上三角复矩阵.于是得 R1=U5U12R=VR2(3.1.5) 其中V=UU12.由于U1,U2都是酉矩阵，所以V也是酉矩阵. k k21 Knl V11 V12 V1n 0 k22 Kn2 21 V22 V2n 设R= : . 0 0 Vnl Vn2 Vnn h 0 2 R2= 0 0 nn 口+四艺·生，生Q0 矩阵理论课程组（数学料学学院）】 矩阵理论 2021年9月7/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 再证分解的唯一性. 设 A = U11R1 = U12R2. 其中 U11,U12 都是酉矩阵， R1, R2 都是正线上三角复矩阵. 于是得 R1 = U −1 11 U12R2 = VR2 (3.1.5) 其中 V = U −1 11 U12. 由于 U11,U12 都是酉矩阵，所以 V 也是酉矩阵. 设 R1 = k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn , V = v11 v12 · · · v1n v21 v22 · · · v2n . . . . . . . . . . . . vn1 vn2 · · · vnn , R2 = l11 l21 · · · ln1 0 l22 · · · ln2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · lnn . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 7 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 首先比较式(3-5)两边矩阵的第一列对应的元素得 k1=h1h1,0=hh1 (i=2,3,…,n) 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月8/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 首先比较式 (3-5) 两边矩阵的第一列对应的元素得 k11 = v11l11, 0 = vi1l11 (i = 2, 3, · · · , n). 因为 l11 > 0, 所以有 v21 = v31 = · · · = vn1 = 0. 由于 V 是酉矩阵，它的列向量是单位向量，所以 l11 = 1. 又因为 V 的第 一列向量与其余列向量正交，于是有 v12 = v13 = · · · = v1n = 0. 从而可知 V = 1 0 · · · 0 0 v22 · · · v2n . . . . . . . . . . . . 0 vn2 · · · vnn . 以此类推，最后可得 V = En. 因此分解式 (3-1) 是唯一的. 类似地，对矩阵 A 按行分块可得唯一分解式 (3.1.2). 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 8 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 首先比较式(3-5)两边矩阵的第一列对应的元素得 k1=M1h1,0=nh1(i=2,3,·,n) 因为h1>0,所以有21=31=·=n1=0. 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月8/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 首先比较式 (3-5) 两边矩阵的第一列对应的元素得 k11 = v11l11, 0 = vi1l11 (i = 2, 3, · · · , n). 因为 l11 > 0, 所以有 v21 = v31 = · · · = vn1 = 0. 由于 V 是酉矩阵，它的列向量是单位向量，所以 l11 = 1. 又因为 V 的第 一列向量与其余列向量正交，于是有 v12 = v13 = · · · = v1n = 0. 从而可知 V = 1 0 · · · 0 0 v22 · · · v2n . . . . . . . . . . . . 0 vn2 · · · vnn . 以此类推，最后可得 V = En. 因此分解式 (3-1) 是唯一的. 类似地，对矩阵 A 按行分块可得唯一分解式 (3.1.2). 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 8 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 首先比较式(3-5)两边矩阵的第一列对应的元素得 k1=1h1,0=hh1(i=2,3,·,n) 因为h1>0,所以有21=31=·=Vn1=0. 由于V是酉矩阵，它的列向量是单位向量，所以h1=1.又因为V的第 一列向量与其余列向量正交，于是有M2=3=·=n=0. 口 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月8/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 首先比较式 (3-5) 两边矩阵的第一列对应的元素得 k11 = v11l11, 0 = vi1l11 (i = 2, 3, · · · , n). 因为 l11 > 0, 所以有 v21 = v31 = · · · = vn1 = 0. 由于 V 是酉矩阵，它的列向量是单位向量，所以 l11 = 1. 又因为 V 的第 一列向量与其余列向量正交，于是有 v12 = v13 = · · · = v1n = 0. 从而可知 V = 1 0 · · · 0 0 v22 · · · v2n . . . . . . . . . . . . 0 vn2 · · · vnn . 以此类推，最后可得 V = En. 因此分解式 (3-1) 是唯一的. 类似地，对矩阵 A 按行分块可得唯一分解式 (3.1.2). 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 8 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 首先比较式(3-5)两边矩阵的第一列对应的元素得 k1=h1h1,0=hh1 (i=2,3,…,n) 因为h1>0,所以有21=31=·=Vn1=0. 由于V是酉矩阵，它的列向量是单位向量，所以h1=1.又因为V的第 一列向量与其余列向量正交，于是有h2=M3=·=Mn=0. 从而可知 0 0 0 22 V2n V= Vn2 Vnn 以此类推，最后可得V=En.因此分解式（3-1)是唯一的. 类似地，对矩阵A按行分块可得唯一分解式(3.1.2) 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月8/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 首先比较式 (3-5) 两边矩阵的第一列对应的元素得 k11 = v11l11, 0 = vi1l11 (i = 2, 3, · · · , n). 因为 l11 > 0, 所以有 v21 = v31 = · · · = vn1 = 0. 由于 V 是酉矩阵，它的列向量是单位向量，所以 l11 = 1. 又因为 V 的第 一列向量与其余列向量正交，于是有 v12 = v13 = · · · = v1n = 0. 从而可知 V = 1 0 · · · 0 0 v22 · · · v2n . . . . . . . . . . . . 0 vn2 · · · vnn . 以此类推，最后可得 V = En. 因此分解式 (3-1) 是唯一的. 类似地，对矩阵 A 按行分块可得唯一分解式 (3.1.2). 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 8 / 61