3.1节：矩阵的三角分解 证：把矩阵A按列分块可得A=(a1,a2,·,an).由于A的秩为n,故 a1,a2,·,an线性无关.将a1,a2,·,an斯密特正交化、单位化得 6= a12, -昌a.g -1 B:= i=2,3,·,n. (1) (a,8)月 令 口+4①，，之·生生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月5/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 证: 把矩阵 A 按列分块可得 A = (α1, α2, · · · , αn). 由于 A 的秩为 n，故 α1, α2, · · · , αn 线性无关. 将 α1, α2, · · · , αn 斯密特正交化、单位化得 β1 = α1 ||α1||2 , βi = αi− i∑−1 j=1 (αi ,βj)βj αi− i∑−1 j=1 (αi ,βj)βj , i = 2, 3, · · · , n. (1) 令 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 5 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 将式(3-4)代入式(3-3).经整理得 ai=k151+k22+·+k3,i=1,2,·,n. 4口卡4，法·生·生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月6/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 将式 (3-4) 代入式 (3-3). 经整理得 αi = ki1β1 + ki2β2 + · · · + kiiβi , i = 1, 2, · · · , n. 从而有 A = (k11β1, k21β1 + k22β2, · · · , kn1β1 + kn2β2 + · · · + knnβn) = (β1, β2, · · · , βn) k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn 令 U1 = (β1, β2, · · · , βn), R = k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn 于是有 A = U1R. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 6 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 将式(3-4)代入式(3-3).经整理得 ai=km61+k262+…+k8,i=1,2,·,n. 从而有A=(k11B,k21B+k22B2,·,kn1B1+k2B2+…+knnBn) k1 k21 knl 0 k22 kn2 =(31,62,…,Bn) ·. ·.. .. 0 0 knn 口4·2·生·生分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月6/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 将式 (3-4) 代入式 (3-3). 经整理得 αi = ki1β1 + ki2β2 + · · · + kiiβi , i = 1, 2, · · · , n. 从而有 A = (k11β1, k21β1 + k22β2, · · · , kn1β1 + kn2β2 + · · · + knnβn) = (β1, β2, · · · , βn) k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn 令 U1 = (β1, β2, · · · , βn), R = k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn 于是有 A = U1R. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 6 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 将式(3-4)代入式(3-3).经整理得 ai=km61+k232+·+k3,i=1,2,·,n 从而有A=(k11B,k216+k22B2,·,kn1B1+k2B2+…+knnBn) k11 k21 knl 0 k22 kn2 =(,2,…,n) ·.. .. 0 0 knn 令 k1 k21 knl 0 k22 U=(B1,B2,·,Bn), Kn2 R= 0 0 knn/ 于是有A=UR. 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月6/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 将式 (3-4) 代入式 (3-3). 经整理得 αi = ki1β1 + ki2β2 + · · · + kiiβi , i = 1, 2, · · · , n. 从而有 A = (k11β1, k21β1 + k22β2, · · · , kn1β1 + kn2β2 + · · · + knnβn) = (β1, β2, · · · , βn) k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn 令 U1 = (β1, β2, · · · , βn), R = k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn 于是有 A = U1R. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 6 / 61
3.1节：矩阵的三角分解 再证分解的唯一性.设A=U11R1=山2R2.其中U11,U12都是酉矩阵 R1,R2都是正线上三角复矩阵.于是得 R1=U5U12R=VR(3.1.5) 其中V=UU12.由于U11,U12都是酉矩阵，所以V也是酉矩阵 口+4①，，之·生生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月7/61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 节: 矩阵的三角分解 再证分解的唯一性. 设 A = U11R1 = U12R2. 其中 U11,U12 都是酉矩阵， R1, R2 都是正线上三角复矩阵. 于是得 R1 = U −1 11 U12R2 = VR2 (3.1.5) 其中 V = U −1 11 U12. 由于 U11,U12 都是酉矩阵，所以 V 也是酉矩阵. 设 R1 = k11 k21 · · · kn1 0 k22 · · · kn2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · knn , V = v11 v12 · · · v1n v21 v22 · · · v2n . . . . . . . . . . . . vn1 vn2 · · · vnn , R2 = l11 l21 · · · ln1 0 l22 · · · ln2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · lnn . 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 7 / 61