d小yy 令广，化为支量分离方程求解。 例6已知p()是定义在-0<x<+o上的连续函数，p'(O)存在，且满足p(1+s)=p()p(s) 求此函数p(d)。 解：令s=0代入方程p(t+s）=p(t)p(s）,得到p(t=p(t)p(0),即p(t=0或p(0)=1 显然，p(=0是满足题意条件。当(≠0时，有p(0)=1成立。 所u0=gt+p0=g0Io8-」-go0o-oo1-p0po 即得，o0=p0ah→p0=ce,由于p(0)=l,所以，o0=e 01) 作业P31:2、3、5、6、8、12、13、15、17、18、19、20、21. $2.2线性方程与常数变易法 教学目的：熟练掌握用常数变易法求线性方程的方法。正确理解常数变易法的思想方法。 1.一阶线性微分方程： 称形如： 密-Pey+Q倒e, 其中P(x),2(x)在区间I=(a,b)上连续，为一阶线性微分方程。当Q(x)=0时，(2.6)变为 盘-Pe少（仁7）为价木次线性方起，布Q)20.搭为价济次线性方。 2。线性方程的性质： 性质1齐次线性方程(27)的解或者恒等于零，或者恒不等于零。 性质2线性方程的解是整体存在的。 性质3齐次线性方程(27)的任何解的线性组合仍是它的解：齐次线性方程(2.7)的任何解与非齐次 线性方程(2.6)的任一解之和是非齐次线性方程(2.6)的解：非齐次线性方程(2.6)的任意两解之差是 第6页共21页
第 6 页 共 21 页 2 2 2 sgn 1 dx x x x x y y dy y y y + + = = + + ， 令 x v y = ，化为变量分离方程求解。 例 6 已知 (t) 是定义在 − + x 上的连续函数， (0) 存在，且满足 (t s t s + =) ( ) ( ) 求此函数 (t)。 解：令 s = 0 代入方程 (t s t s + =) ( ) ( ) ，得到 (t t ) = ( ) (0) ，即 (t) = 0 或 (0 1 ) = 显然， (t) = 0 是满足题意条件。当 (t) 0 时，有 (0 1 ) = 成立。 所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 lim lim lim 0 s s s t s t t s t s t t s s s → → → + − − − = = = = 即得： ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 d t t dt t ce t = = ，由于 (0 1 ) = ，所以， ( ) (0)t t e = 作业 P31：2、3、5、6、8、12、13、15、17、18、19、20、21. §2.2 线性方程与常数变易法 教学目的：熟练掌握用常数变易法求线性方程的方法。正确理解常数变易法的思想方法。 1．一阶线性微分方程： 称形如： ( ) ( ) (2.6) dy P x y Q x dx = + ， 其中 P x Q x ( ), ( ) 在区间 I a b = ( , ) 上连续， 为一阶 线性 微分方 程。当 Q x( ) 0 时， (2.6) 变为 ( ) (2.7) dy P x y dx = 称为一阶齐次线性方程，若 Q x( ) 0，(2.6) 称为一阶非齐次线性方程。 2．线性方程的性质： 性质 1 齐次线性方程 (2.7) 的解或者恒等于零，或者恒不等于零。 性质 2 线性方程的解是整体存在的。 性质 3 齐次线性方程 (2.7) 的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程 (2.7) 的任何解与非齐次 线性方程 (2.6) 的任一解之和是非齐次线性方程 (2.6) 的解；非齐次线性方程 (2.6) 的任意两解之差是
齐次线性方程(2.7)的解。 性质4齐次线性方程(27）的通解与非齐次线性方程(2.6)的任一特解之和构成非齐次线性方程 (2.6)的通解。 性质5线性方程初值问题的解是存在且唯一的。 3.一阶线性微分方程的解 对于(2.7)可用分离变量法求得通解为 y=ce地(2,8)(c是任意常数 对于(2.6)可用常数变易法求解。常数变易法的思路：令其解为 y=c(x)(2.9) 微分得到 de(()p()(2.10). dx dx 将(2.9)(2.10)代入(2.6)得到 d因。ne+c问)P)en=Pce)ee+Q(). r 整理得： ()2()e 积分后得到： c)=e(dr+c(21)） 这里c是任意常数，将(2.1山)代入(2.9)得到 y=e*（e(x)edk+(2.12) 是方程(2.6)的通解。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。 创1.求程会2，的适 第7页共21页
第 7 页 共 21 页 齐次线性方程 (2.7) 的解。 性质 4 齐次线性方程 (2.7) 的通解与非齐次线性方程 (2.6) 的任一特解之和构成非齐次线性方程 (2.6) 的通解。 性质 5 线性方程初值问题的解是存在且唯一的。 3．一阶线性微分方程的解 对于 (2.7) 可用分离变量法求得通解为 ( ) (2.8) P x dx y ce = （ c 是任意常数） 对于 (2.6) 可用常数变易法求解。常数变易法的思路：令其解为 ( ) ( ) (2.9) P x dx y c x e = 微分得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.10) dy dc x P x dx P x dx e c x P x e dx dx = + ， 将 (2.9 2.10 )( ) 代入 (2.6) 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dc x P x dx P x dx P x dx e c x P x e P x c x e Q x dx + = + ， 整理得： ( ) ( ) dc x P x dx ( ) Q x e dx − = 积分后得到： ( ) ( ) ( ) (2.11) P x dx c x Q x e dx c − = + 这里 c 是任意常数，将 (2.11) 代入 (2.9) 得到 ( ) ( ) ( ) (2.12) P x dx P x dx y e Q x e dx c − = + 是方程 (2.6) 的通解。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。 例 1．求方程 2 dy y dx x y = − 的通解