a(F. (1一xf1)g f1’g J(u,x)(1-xf1)(1-2yg2)-f2 (4)同上题,记F(x,y,,v)=e"+sinv-x,G(x,y,x,)= e- ucOs T-y,则 FF t sin v ucos G. g COS U uStn y ue"(sin v a(F F. F a G. G 0 usin U Sin 7 :2 s (si cOs v)+1 a(F, G) F. F a (y,v) 0 ucos 一1sinv COS v sIn w sU)+1 a(F,G) FF GG coS u-e ue"(sin v cos v)f1] 1 a(F,G) F。F d(u, y) G. g + sin 0 Cos T e“+sinv e"( )+1]
1设y=f(x,t),而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x,y 的函数,其中f,F都具有一阶连续偏导数.试证明 afaf af aF dy ax aa ax d x afaF aF at ay a 证明【运用隐函数求导法,解方程组求出,即可得证】 由方程组 F(x,y,t)=0, G(x,y,t)△y-f(x,t)=0 可确定一元隐函数组:y=y(x),t=t(x),下面用隐函数求导法求 y对上述各方程两边都对x求导,得 Fr+F -f-f!·t1=0 为了解出yx,并消去t,将①·∫1十②·F1得 Ff,+Fy +Fft,=0 Fr FAfx一Ff y(fFy+F)=JF,一f!F, af af af aF 即有 dy af aFaF 第六节微分法在几何上的应用 知识要点与考点 1.空间曲线的切线与法平面【考点】 将空间曲线r在M处的切线理解(或定义)作割线MN当N 沿着r趋向于M的极限位置
设r的参数方程为 (1)参数式情形 y=中(t),z=a(t) 则M(xo,yo,zo)处的切线为 (t)y(t0)"a/(t) 其中切线的方向向量t={y(t),y(t),d(t)}又称为曲线在 M处的切向量 过M并与切线垂直的平面称为曲线P在M处的法平面,显 见法平面方程的 p(to)(r-xo)+y(to)(y-yo)+w(to)(z-zo=0. (2)面交式情形. 设以面交式方程 F(x,y,z)=0 y◆之 给出则切向量、切线及法线的方程分别为 F, F F. F F. F 0 G. G G. G F、F G. G G. G G. G F. F F. F t-. Lo G. G zo FF (x-z0)=0 G. G 其中带下标0的各行列式表示各行列式在点M(x0,y,z)的值 2曲面的切平面与法线【考点】 (1)隐式情形.设曲面∑以隐式 F(r,y,z
给出,则其在点M(x0,y,x(∈∑)处的切平面与法线方程分别 为 F. zo)(r-ro)+F,(ro, yo, zo)(y-yo) F2(x。,y,z0)(z-z0)=0 而把n={F(xo,y,z),F(x,y,z),F2(x0,y,z)}称为曲面∑ 在点M处的法向量 (2)显式情形设∑由显式方程 给出,则n={f2(x,y),f2(x,y),-1},∑在M(xo,y,z0)处的 切平面与法线方程分别为 f (co, yo)(x-xo)+f f(xo, yo) f,(Io, yo) 习题8-—6解谷 求曲线x=(-sy-1-094=4m在点(2一1 2√2处的切线及法平面方程 解记该切点为M,则M处的切向量 t k1-cos t, sin t, 2cos 1,√2} 其中当t=π/2时,(x,y,x)=(2-1,1,2√2),故所求切线与法 平面方程分别为: /2+ (x-丌+1)+(y-1)+√2(z-2√2)=0 34
+√2z-π/2-4=0. 2求曲线x=1+八1+,x=在对应于t=1的点处的切 线及法平面方程 解当t=1时,切点为M(,2,1),切点处的切向量 24 1,-4,8} 取1={1,-4,8},所求切线及法平面方程分别为: 1/2 y二2 4(y-2)+8(z-1) 即 4y+8 2 3求曲线y2=2mx,x2=m-x在点(x0,y,x处的切线及法 平面方程 解【曲线为面交式方程,是空间两柱面的交线计算其切线 与法平面方程的公式复杂,应尽可能将曲线转化为参数式方程解 之】视x为参数则曲线方程为 2 先求切向量τ.由于 dy 2m,2 d 故点(x0y,z)处的切线与法平面的方程分别为 y-yo