2.设ln√x2+y2= arctan2,求 解记F(x,y)=5n(x2+y2)- arctan2,则 az 3设x+2y+z-2√xyz=0,求及 解记F +2y+z-2 则 F ax t yR F Xyz 设工=1nx,求 az 及 解记F(x,y,z)=x-1n2,则 az 1/z+0 F (一z/y2)·z F z y(x+e) 5设2(x+2y-3x)=x+2y-3x,证明a+y=1 迸明记F(x,y,x)=2sin(x+2y-3x)-x-2y+3z,则 de 2cos(x+2y-3z)-1 6c08(x+2y-3z)+3 az 2
a⊥a6cos(x+2y-3z) dr ay 6cos (x 2y-3z 3 6设x=x(y,2),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由方程F(x,y, )=0所确定的具有连续偏导数的函数,诳明 dr dy az 证明【只须用隐函数求偏导数的公式,求出各偏导数,再代 入左式验证】 左式=~F F)=-1=右式 注:此题也可见,偏微商记号不能约分 7.设φ(t,v)具有连续偏导数,证明由方程φ(cx-ax,cy 如3-所确定的函数=八(x)满足a+b一 证明【只须运用隐函数求导公式,求出x、x并代人左式 验证.】因为 a2-b2', b acd, bcd 更1十6 证二【用隐函数求导法求x,xy,再代人证之.】 对方程φ(cx-az,y-bz)=0两边分别对x与y求偏导数: az a ax c1-(a91+b02) y 1+φ!-b2
=cφ2-(aφ1+2) 0 解得-a1+b,=a1+bp abc(4!+她2) dz a!+如2 8设e2-xyz=0,求2 解记F(x,y,z)=e2-xyz,则 F F ae az x'r(z-1)-x[(2-1)+xa1] 十 或由①式,直接得 uy e 2y2ze'-y'zze'-2ry'z 注:利用e=xyz,可将以上两个答案互化 dx 9.设z3 求 ard 解【像上题那样,先用隐函数导数的公式求一阶偏导数;再 逐阶求高阶偏导数,这是常用的方法】 记F(x,y,z)=z3-3xyz-a3,则 28·
3 3. ry xxz 3 dray ay z ty ry (x2-xy)2 2rya +r'y'z+ ryxs-xy'z-2ryz+ xyx-ry2z y xs-2xyz-x2y'z z(z4-2xyz2 -x2y2 10.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数 (1)设 求 x2-+2y2+3z2=20 y+z=0 (2)设 x2+y2+z2=1, 求 d (8)/=/(ux,+y)其中fg具有一阶连续偏导数求 U-8 a x=e+usin v, (4)设 求 y=e"ucos t, 解(1)由此方程组可确定一元隐函数组:y=y(x),z z(x),对原方程组两边同时对x求导(隐函数求导法),得 2x+2y d dv 2x+4y2+6x 即
d 十3 d 在、N=6yz+2y≠0的条件下,由②-①,得 2y3 dz d (3x+1 dx 32+ 入①,得 d (6z+1) dx=2y(3z+1) (2)由此方程组可确定一元隐函数组:x=x(z),y=y(z),同 (1)运用隐函数求导法,得 y t yy e dx 2 dy y-z (3)Te F(x,y,u, v)=u-f(ux, v+y),G(x, y,u,v)=v-g(u x,v2y),用隐函数组求导公式计算,这里 FF f,'x g (1-xf1)(1-2yg2)-f2g a(F, G) F F fi ar,D) G. G g 1一gz′·2Uy (ZUng 1)uf,'+ f2g F,G)FM F fu d(u,, r) g (1-xf1)g1-uf:g1 1(F,G) y 1) f2 一了(x (1-xf1)(1-2yg2)-f2g1 ·30